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设A与B都是n阶对角矩阵，证明:A与B相似的充分必要条件是A与B的对角线元素除了排列次序外完全相同

2024-11-30 06:00:26

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回答1：

(=>)A,B相似则特征值相同
因为对角矩阵的特征值即对角线上的元素
所以A,B的对角线元素除了排列次序外完全相同
(<=)A,B的对角线元素除了排列次序外完全相同时
不妨设
A=diag(a1,a2,...,an),
B=diag(a2,a1,...)
令P
=
0
1
0....0
1
0
0...
0
0
0
1...
0
.....
0
0
0...
1
即P为交换1,2行的初等矩阵
则
P^-1BP
=
diag(a1,a2,.....)
如此,
可将B的对角线元素调整为
a1,a2,...,an
即有
Ps^-1...P1^-1BP1...Ps
=
A
亦即
(P1...Ps)^-1B(P1...Ps)
=
A
故
A,B相似.

回答2：

…谁告诉你的！ab作为n阶行列式相似，则可以得到ab的特征值相同。而题给出ab是对角阵，即特征值与迹一一对应，就是说ab的迹就全部对应是它的特征值。现在回到题本身，相似推出特征值同，由对角阵性质推导出主对角线元分别对应相等…得证。