15问答网 > 定义在R上的函数f（x）满足①对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）②当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2（

定义在R上的函数f（x）满足①对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）②当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2（

2024-12-01 17:36:28

推荐回答（1个）

回答1：

∵对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）取x=y=0，可得f（0）=0，
（2）取y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
所以f（-x）=-f（x），f（x）是奇函数
（3）任取x₁＜x₂，
则 x₂-x₁＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）
又∵当x＞0时，f（x）＜0，
f（x₂）-f（x₁）＜0，
可得 f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在R上是减函数
（4）∵f（1）=-2
∴f（2）=f（1）+f（1）=-4，
f（4）=f（2）+f（2）=-8
∴不等式f（x²-2x）-f（x）≥-8
可化为f（x²-2x）-f（x）≥f（4）
即f（x²-2x）≥f（x）+f（4）
即x²-2x≤x+4
即x²-3x-4≤0
解得-1≤x≤4
故不等式f（x²-2x）-f（x）≥-8的解集为[-1，4]

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