含字母系数的一元一次方程
教学目标
1.使学生理解和掌握含有字母系数的一元一次方程及其解法；
2.理解公式变形的意义并掌握公式变形的方法；
3.提高学生的运算和推理能力.
教育重点和难点
重点：含有字母系数的一元一次方程和解法.
难点：字母系数的条件的运用和公式变形.
教学过程设计
一、导入新课
问：什么叫方程?什么叫一元一次方程?
答：含有未知数的等式叫做方程，含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程.
例 解方程2x－1 3－10x+1 6=2x+1 4－1
解 去分母，方程两边都乘以12，得
4(2x－1)－2(10x+1)=3(2x+1)－12,
去括号，得
8x－4－20x－2=6x+3-12
移项，得
8x－20x－6x=3-12+4+2，
合并同类项，得
－18x=－3，
方程两边都除以－18，得
x=3 18 ,即 x=1 6.
二、新课
1.含字母系数的一元一次方程的解法.
我们把一元一次方程用一般的形式表示为
ax=b (a≠0),
其中x表示未知数，a和b是用字母表示的已知数，对未知数x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项.
如果一元一次方程中的系数用字母来表示，那么这个方程就叫做含有字母系数的一元一
次方程.
以后如果没有特别说明，在含有字母系数的方程中，一般用a，b，c等表示已知数，用x，y，z等表示未知数.
含字母系数的一元一次方程的解法与只含有数字系数的一元一次方程的解法相同.按照解
一元一次方程的步骤，最后转化为ax=b(a≠0)的形式.这里应注意的是，用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这个式子的值不能等于零.如(m－2)x=3,必须当m－2≠0时，即m≠2时，才有x=3 m－2 .这是含有字母系数的方程和只含有数字系数的方程的重要区别.
例1 解方程ax+b2=bx+a2(a≠b).
分析：这个方程中的字母a，b都是已知数，x是未知数，是一个含有字母系数的一元一次方程.这里给出的条件a≠b，是使方程有解的关键，在解方程的过程中要运用这个条件.
解 移项，得
ax－bx=a2－b2,
合并同类项，得
(a－b)x=a2－b2.
因为a≠b，所以a－b≠0.方程两边都除以a－b，得
x=a2－b2 a－b=(a+b)(a－b) a－b,
所以 x=a+b.
指出：
(1)题中给出a≠b，在解方程过程中，保证了用不等于零的式子a－b去除方程的两边后所得的方程的解是原方程的解；
(2)如果方程的解是分式形式时，一般要化成最简分式或整式.
例2 x－b a=2－x－a b(a+b≠0).
观察方程结构的特点，请说出解方程的思路.
答：这个方程中含有分式，可先去分母，把方程转化成含有字母系数的一元一次方程
的一般形式.在方程变形中，要应用已知条件a+b≠0.
解 去分母，方程两边都乘以ab得
b(x－b)=2ab－a(x－a),
去括号，得
bx－b2=2ab－ax+a2,
移项，得
ax+bx=a2+2ab+b2
合并同类项，得
(a+b)x=(a+b)2.
因为a+b≠0，所以x=a+b.
指出：ab≠0是一个隐含条件，这是因为字母a，b分别是方程中的两个分式的分母，因此a≠0,b≠0,所以ab≠0.
例3 解关于x的方程
a2+(x－1)ax+3a=6x+2(a≠2,a≠－3).
解 把方程变形为，得
a2x－a2+ax+3a=6x+2,
移项，合并同类项，得
a2x+ax－6x=a2－3a+2,
(a2+a－6)x=a2－3a+2,
(a+3)(a－2)x=(a－1)(a－2).
因为a≠2,a=－3，所以a+3≠0，a－2≠0.方程两边都除以(a+3)(a－2)，得
x=a－1 a+3.
2.公式变形.
在物理课中我们学习了很多物理公式，如果q表示燃烧值，m表示燃料的质量，那么完全燃烧这些燃料产生的热量W，三者之间的关系为W=qm，又如，用Q表示通过异体横截面的电量，用t表示时间，用I表示通过导体电流的大小，三者之间的关系为I=Qt.在这个公式中，如果用I和t来表示Q，也就是已知I和t，求Q，就得到Q=It；如果用I和Q来表示t，也就是已知I和Q，，求t，就得到t=QI.
像上面这样，把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形.
把公式中的某一个字母作为未知量，其它的字母作为已知量，求未知量，就是解含字母
系数数的方程.也就是说，公式变形实际就是解含有字母系数的方程.公式变形不但在数学，而且在物理和化学等学科中非常重要，我们要熟练掌握公式变形的技能.
例4 在公式υ=υo+at中，已知υ,υo,a，且a≠0，求t.
分析：已知υ，υo和a，求t，也就是把υ，υo和a作为已知量，解关于未知量t的字母系数的方程.
解 移项，得
υ－υ0=at.
因为a≠0，方程两边都除以a,得
t=υ－υo a.
例5 在梯形面积公式s=12(a+b)h中，已知a，b，h为正数.
(1)用s，a，b表示h；(2)用S,b,h表示a.
问：(1)和(2)中哪些是已知量?哪些是未知量；
答：（1）中S，a，b是已知量，h是未知量;(2)中s，b，h都是知已量，a是未知量.
解 (1)方程两边都乘以2，得
2s=(a+b)h.
因为a与b都是正数，所以a≠0，b≠0，即a+b≠0，方程两边都除以a+b，得
h=2sa+b.
(2)方程两边都乘以2，得
2s=(a+b)h,
整理，得
ah=2s－bh.
因为h为正数，所以h≠0，方程两边都除以h,得
a=2s－bh h.
指出：题是解关于h的方程，(a+b)可看作是未知量h的系数，在运算中(a+b)h不要展开.
三、课堂练习
1.解下列关于x的方程：
(1)3a+4x=7x－5b; (2)xa－b=xb－a(a≠b)；
(3)m2(x－n)=n2(x－m)(m2≠n2);
(4)ab+xa=xb－ba(a≠b);
(5)a2x+2=a(x+2)(a≠0,a≠1).
2.填空：
(1)已知y=rx+b r≠0,则x=_______;
(2)已知F=ma,a≠0，则m=_________;
(3)已知ax+by=c，a≠0，则x=_______.
3.以下公式中的字母都不等于零.
(1)求出公式m=pn+2中的n;
(2)已知xa+1b=1m，求x；
(3)在公式S=a+b2h中，求a;
(4)在公式S=υot+12t2x中，求x.
答案：
1.(1)x=3a+5b 3； (2)x=ab; (3)x=mn m+n; (4)x=a2+b2 a－b (5)x=2a.
2.(1)x=y－b r； (2)m=Fa; (3)x=c－by a.
3.(1)n=p－2m m; (2)x=ab－am bm; (3)a=2s－bh h;
(4)x=2s－2υott2.
四、小结
1.含字母系数的一元一次方程与只含有数字系数的一元一次方程的解法相同，但应特别注意，用含有字母的式子去乘或除方程的两边时，这个式子的值不能为零.我们所举的例题及课堂练习的题目中所给出的条件，都保证了这一点.
2.对于公式变形，首先要弄清公式中哪些是已知量，哪个是未知量.把已知量作为字
母系数，求未知量的过程就是解关于字母系数的方程的过程.
五、作业
1．解下列关于x的方程
(1)(m2+n2)x=m2－n2+2mnx(m－n≠0)；
(2)(x－a)2－(x－b)2=2a2－2b2 (a－b≠0);
(3)x+xm=m(m≠－1);
(4)xb+b=xa+a(a≠b);
(5)m+nx m+n=a+bx a+b(mb≠na).
2.在公式M=D－d 2l中，所有的字母都不等于零.
(1)已知M,l ,d求D； (2)已知M,l D,求d.
3.在公式S=12n[a1+(n－1)d]中，所有的字母都是正数，而且n为大于1的整数，求d.
答案：
1.(1)x=m+n m－n; (2)x=－a+b 2; (3)x=m2 m+1; (4)x=ab; (5)x=1.
2.(1)D=2lM+d; (2)d=D－2lM.
3.d=2S－na1 n(n－1).
课堂数学设计说明
1.学生对含有字母系数的方程的认识和解法以及公式变形，接受起来有一定困难.含字
母系数的方程与只含数字系数的方程的关系，是一般与特殊的关系，当含有字母系数的方程
中的字母给出特定的数字时，就是只含数字系数的方程.所以在教学设计中是从复习解只含
数字系数的一元一次方程入手，过渡到讨论含字母系数的一元一次方程的解法和公式变形，
体现了遵循学生从具体到抽象，从特殊到一般的思维方式和认识事物的规律.
2.在代数教学中应注意渗透推理因素.在解含有字母系数的一元一次方程和公式变形的过程中，引导学生注意所给题中的已知条件是什么，在方程变形中要正确运用题中的已知条件.如在解方程中，常用含有字母的式子乘(或除)方程的两边，并要论述如何根据已知条件，保证这个式子的值不等于零，从中有意识地训练和提高学生的逻辑推理能力，把代数运算和推理蜜切结合.
分数解方程的方法:1.第一步一般是去括号了 如果没有括号转入第二部
2.第二步是乘以公分母 目的就是约去分母
3.第三步是移向 合并
4.第四步是得出结果
解二元一次方程组吧. 思路是消元，根据方程的特点来确定用代人消元还是加减消元.
如果一个方程中某一未知数的系数为1，常用代人消元法，也可用加减消元法；如果两个方程中同一未知数的系数相等，或互为相反数，或是整倍数关系，当然用加减消元法了.
解一元二次方程的基本思想方法:1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m± .
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=
当b2-4ac≥0时，x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项 系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
4.因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
1、甲车和乙车同时从A地开往B地，路程800千米，甲的速度是乙的1／3，乙比甲提前3小时问甲车和乙车的速度各是多少？
根据题意设甲车的速度为X，则乙车速度为3X则可列方程如下：
800/X-800/3X=3可解出X=1600/9那么乙车速度为1600/324人分别乘两辆面包车赶往火车站乘某列火车，其中一辆小面包车在距离火车站15KM的地方出了故障，此时离火车停止检票时间还有42min，这时唯一可以用的交通工具只有一辆小面包车，连司机在内限乘13人，已知小面包车平均速度为60km/h，问他们采用什么方法才能赶上这趟火车？
1）t=15/60=15 15x3=45 45>42
2)5X+60X=2X15 T=27.7-15=12.7分
27.7+12.7=40.7分
40.7<42
65X=30
X=30/65
X=0.462
答：人与司机同走才能赶上这趟火车。
初一上学期书 P79 （二)拓展提高 第三小题 解法 牧场有一片草地，这片草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。如饲养25头牛，几天可以把牧场上的草吃完？
解：设草量为1，每天长草量为X，25头牛，Y天可以把牧场上的草吃完
这片草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天
可知（1+20X）/(10*20)=(1+10X)/(10*15) 解得X＝1/20
1头牛每天吃草量为（1+20*（1/20））/(10*20)=1/100
1+Y*(1/20)=(1/100)*25*Y
可求出Y=5
答：如饲养25头牛，5天可以把牧场上的草吃完。
本题的关键是草量每天在变化，每头牛每天吃草量是固定的
解方程嘛……
这么跟你说吧，一般的人学方程，多会马虎或有不会的题
教你几个办法
1：eg 2x+3=5x+1,你可以在等式两边同时减2x,而不是要“变号”之类的（这是高中的解方程的思想，不容易错，不过不熟的会慢点，练练就好了，很实用）
2：不要在做完整个方程后检查，一个等式列完就检查，省时间
eg （例如）2（x-3)=3(x+4)
2x-3=3x+4
同时减2x -3=x+4
同时加三，减x 0=x+7. -x=7
乘-1 x=-7
像你所举得这个例子，（1）可以将两边的括号展开就是1.5*80-1.5x=2/3*90-2/3x然后应该会做了吧，（将有未知数的几项移到一边）（2）先等式两边同除以1.5然后将右边的括号展开，下面也和前面一样做。
很简单啊1.5(80-x)=2∕∕3（90-x)首先，要将2除以三看成是2分之三，然后用乘法分配律代进去：1.5*80-1.5x=三之二*90-三分之二x，接着，移项
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