求微分方程y✀✀+2y✀+y=e^x的通解

具体回答如下：

y''+2y'+y=e^x

齐次方程y''+2y'+y=0的特征方程：a^2+2a+1=0

解得：a=-1

齐次方程的通解y=Ce^(-x)

设特解为y*=ae^x

y*'=ae^x

y*''=ae^x代入微分方程：ae^x+2ae^x+ae^x=e^x

所以：4a=1

a=1/4

特解为y*=(1/4)e^x

所以：微分方程的通解为y=Ce^(-x)+(1/4)e^x

约束条件：

微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。

常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

先计算齐次方程的解，特征根为1（2重），因此齐次的解为y=（C1+C2x）e^x，C1，C2为常数；

然后计算特解：

等式右边为e^（-x），因此设特解为y=ke^(-x)，代入得

4ke^(-x)

=e^(-x)，解得k=1/4

因此通解为y=（C1+C2x）e^x+1/4e^(-x)

扩展资料

对于一元函数有，可微<=>可导=>连续=>可积

对于多元函数，不存在可导的概念，只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在，仅仅保证偏导数存在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续=>可积。

可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；

可微与连续的关系：可微与可导是一样的；

可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积。

rt所示

方法如下图所示，请认真查看，祝学习愉快：