简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律

学科:物理
教学内容:简谐运动
【基础知识诱思】
在我们的周围,到处可以见到物体在运动:汽车在马路上飞驰,江水在咆哮着奔向远方,鸟儿在飞翔,树叶在摇动等.正是不同事物的各种各样的运动构成了这个五彩缤纷的大千世界.那么大家见没见过这样一种运动:在弹簧的下端挂一个小球,拉一下小球,它就以原来静止的位置为中心上下做往复运动;又如在盆中放一些水,拿一小木块置于水中,用力将小木块压入水中,突然放手,我们会发现小木块不停地上下浮动.小球和木块的这种运动是什么运动呢 物体的运动是由它所受的力决定的,小球和木块做这种运动时又是受怎样一种力的支配呢 这就是本节我们要学习的知识——简谐运动.
【重点难点解读】
问题一:简谐民运动的条件
解读:振动中回复力符合条件F=-kx.
即回复力F的大小与位移x成正比,方向与位移方向相反.因此,我们判断一个物体是否做简谐运动,只要分析物体的受力情况,找出回复力,确定它能否写成F=-kx即可.
问题二:简谐运动的特点
解读:(1)回复力的特点:F回=-kx,回复力周期性变化,其方向始终与位移方向相反,即始终由物体的所在位置指向平衡位置;回复力的大小由位移的大小决定;对于弹簧振子,由弹簧的形变量决定.
(2)加速度的特点:由牛顿第二定律得,a回=-x,加速度也是周期性变化的,所以简谐运动是一种变加速运动.
(3)速度特点:振动质点速度的大小总是随位移的增大而减小,随位移的减小而增大,在平衡位置时,振动物体的速度最大.
(4)位移特点:位移x是矢量,其起点始终在平衡位置,终点随振动物体的所在位置变化.位移的方向始终由平衡位置指向物体的所在位置.
(5)简谐运动的加速度和速度,位移的变化(见下表)
振子的运动
位 移
加速度
速 度
O→B
增大,方向向右
增大,方向向左
减小,方向向右
B
最大
最大
0
B→O
减小,方向向右
减小,方向向左
增大,方向向左
O
0
0
最大
O→C
增大,方向向左
增大,方向向右
减小,方向向左
C
最大
最大
0
C→O
减小,方向向左
减小,方向向右
增大,方向向右
其中B为振子右侧最大位移处,C为振子左侧最大位移处,0为平衡位置.
【解题技法点拨】
理清简谐运动过程中各物理量的变化以及各物理量(矢量)的方向关系,有助于快速,准确地判断某位置振动物体的振动情况.如回复力,加速度的方向和位移的方向始终相反;速度的方向和位移的方向相同或相反;位移最大处,加速度最大但速度最小;位移最小处,加速度最小但速度最大.
充分利用简谐运动的对称性.做简谐运动的物体,在距平衡位置等距离的两点上时,具有大小相等的速度,加速度和位移.
例 弹簧振子多次通过同一位置时,下述物理量变化的有( )
A.位移 B.速度 C.加速度
D.动量 E.动能 F.弹力
点拨:过同一位置时,位移,回复力和加速度不变.由机械能守恒定律得到动能不变,速率不变,弹力不变.由运动情况分析,相邻两次过同一点,速度方向改变,从而动量改变.
答案:BD
【经典名题探究】
考点一:简谐运动中回复力,加速度,速度,位移间的关系
例1 一弹簧振子做简谐运动,则( )
A.加速度最大时,速度最大
B.速度最大时,位移最大
C.位移最大时,回复力最大
D.速度方向一定与位移方向相反
分析:本题的关键是理解简谐运动中回复力,加速度,速度,位移之间的关系及变化以及各矢量的方向关系,振子加速度最大时,位移最大,回复力最大,速度为零,故A错C正确.当速度最大时,振子回到平衡位置,加速度,回复力和位移为零,故B选项错.加速度的方向和位移的方向始终相反,而速度的方向和位移的方向可能相同也可能相反,故D选项错.
答案:C
探究:对本题用最快捷的方法作出判断的关键是总结出它们的规律.位移决定受力,受力决定加速度,故位移,回复力,加速度同步调变化,而速度则与其反步调变化.
姊妹题 关于简谐运动的有关物理量,下列说法错误的是( )
A.回复力的方向总是指向平衡位置
B.向平衡位置运动时,加速度越来越小,速度也越来越小
C.加速度和速度方向总是跟位移方向相反
D.速度方向有时跟位移方向相同,有时相反
答案:BC
考点二:简谐运动的条件
例2 木块质量为m,放在水平水面上静止,如图9.1-1所示,今用力向下将其压入水中一定深度后撤去外力,木块在水面上振动,试判断木块的振动是否为简谐运动.
分析:判断木块是否做简谐运动的依据是看木块所受回复力是否满足F回=-kx.对于本题首先分析木块的受力情况,并分析回复力与位移的关系.设木块静止时在水中的深度为x,则mg=F浮=水gSx,其中S为木块的横截面积当木块压入水中的深度为x时,木块所受的回复力F回=mg-F浮
又有F浮=水gS(x+x)
由以上各式得:F回=mg-水gSx-水gSx=-水gSx
所以F回=-kx(k=水gS),所以木块的运动为简谐运动.
答案:木块的运动是简谐运动.
探究:由本题可归纳出判断物体做简谐运动的依据和步骤.根据题意研究物体的受力情况,找力与位移的关系.若满足F=-kx,则物体做简谐运动,否则不是.
姊妹题 如图9.1-2所示,在光滑水平面上,用两根劲度系数分别为k1,k2的弹簧系住一质量为m的小球.开始时,两弹簧均处于原长状态,将小球拉离平衡位置x后放手,可以看到小球在水平面上做往复运动,试问小球的运动是否为简谐运动
答案:小球所受的回复力大小F=(k1+k2)x,令k=k1+k2,则可写为F=kx.由于小球所受的回复力的方向与位移方向相反,故上式可写为F=-kx,所以小球在两根弹簧作用下,沿水平方向做简谐运动.
考点三:简谐运动过程中速率的变化规律
例3 如图9.1-3所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在A,B间做简谐运动,P为AO的中点,已知振子从B运动至O点时的速率为0.5m/s,则振子经过O点运动至P点时的速率可能是( )
A.0.45m/s B.0.2m/s
C.0.6m/s D.0.1m/s
分析:本题考查简谐运动的过程中物体速度的变化情况.其中需明确物体受的回复力的变化情况,进而研究加速度变化,从而确定速率变化规律.由简谐运动规律知,从平衡位置向最大位移运动的过程中,振子的速率减小,因而C错;又知该过程中加速度逐渐增大,假设该过程为匀减速运动,则由运动学知识(vt2-v02=2as)可得,P点速率vp=v0=0.35m/s,因该过程实际为加速度越来越大的减速运动,所以P点的速率一定大于0.35m/S,故BD错.
答案:A
探究:将所学知识灵活应用是学好物理学的关键,该题通过"排除"法,得到正确答案,利用此法解答选择题有很多优点.一些不能准确把握的问题可以通过"排除"掉错误答案而得到正确答案.
姊妹题 上题中,若已知振子从O到P点所用时间为1s,则从P点运动到A点所用时间以下可能正确的是( )
A.0.8s B.0.3s C.1.5s D.1s
答案:C
考点四:简谐运动中回复力公式F=kx的计算
例4 如图9.1-4所示,质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上,B与弹簧相连,它们一起在光滑水平面上做简谐运动,运动过程中A,B之间无相对运动,设弹簧的劲度系数为k,当物体离开平衡位置的位移为x时,A,B间的摩擦力大小为多少
分析:当物体离开平衡位置的位移为x时,回复力(即弹簧弹力)的大小为kx,则A,B相对静止,故以A,B整体为研究对象,此时m和M有相同的加速度a,由牛顿第二定律得kx=(m+M)a,即a=.
以A为研究对象,使A产生加速度的力即B对A的静摩擦力F,由牛顿第二定律可得F=ma=kx.
答案:摩擦力为kx
探究:本题分析时采用了先整体分析后局部分析的方法,若单独对A,B受力分析则变得麻烦,容易出错.
姊妹题 如图9.1-5所示,质量为M和m的两物体A,B靠在一起在光滑水平面上做简谐运动,若弹簧劲度系数为k,当AB离开平衡位置的距离为x时,求A,B的回复力各多大
答案:;kx
【思维误区诊断】
易错点一:对平衡位置概念的正确理解.易将平衡位置认为是物体所受合外力为零的位置而致错,振子到达同一位置时各物理量的关系需明确,易将这些量混淆搞不清各量的关系.
例1 关于做简谐运动的物体,下列说法正确的是( )
A.在平衡位置所受的合外力一定为零
B.在平衡位置时势能一定为零
C.做简谐运动的振子每次通过同一位置时,具有相同的速度和动量
D.做简谐运动的振子每次通过同一位置时,具有相同的加速度和动能
[误点诊断] 平衡位置就是所受合外力为零的位置,所以A正确;弹簧振子的小球在到达平衡位置时,弹簧不伸长也不压缩,弹性势能为零,B正确;做简谐运动的振子,在通过同一位置时,由机械能守恒知,其速度相同,故动量相同,C正确;由简谐运动规律知,加速度与位移反向,大小成正比,且同一位置位移相同,因而加速度相同,动能也相同,所以D正确.
[名师批答] 平衡位置是物体所受回复力为零的位置,而不一定是物体所受合外力为零的位置.振子通过同一位置时,位移相等对应着加速度回复力相同,速度大小相等但方向不一定相同,对应着动能一定相等而动量则不一定相同.
答案:D
易错点二:简谐运动的条件:判断物体的运动是否是简谐运动,不但要看物体是否振动,还要看物体受力特点是否满足F=-kx,易在只看前者而忽略受力特点出错
例2 用手协调地拍皮球,使球上下往复跳动的时间相等,皮球的往复运动是不是简谐运动
[误点诊断] 皮球的往复运动是简谐运动,因为其上下往复运动的时间相等,与弹簧振子的振动相同.
[名师批答] 表面看来,此时皮球的运动似乎与弹簧振子的振动情况相同,每隔相同时间,皮球往复运动一次,其实,拍皮球时除了手接触皮球和皮球落地这个瞬间受到手和地面的作用力外,在上下往复过程的其余时间里,球都只受一个恒力(即重力)的作用(阻力不计),故不符合回复力F回=-kx的条件,所以不是简谐运动.以后分析问题时要研究其本质,不能只看表面现象.
答案:皮球的往复运动不是简谐运动.
【同步达纲练习】
[基础知识]
1.沿水平方向做简谐运动的弹簧振子,质量为m,最大速度为v,从任意时刻算起,在半个周期内( )
A.弹力做的功一定为0
B.弹力做的功可能是0到mv2之间的某个值
C.弹力的冲量大小可能是0到2mv之间的某个值
D.弹力的冲量大小一定不为0
2.简谐运动是下列哪一种运动( )
A,匀变速运动 B.匀速直线运动
C.变加速运动 D.匀加速直线运动
3.弹簧振子在水平方向沿直线做简谐运动,比较振子连续两次经过同一位置时的情况,振子的( )
A.加速度相同,动能相同 B.动能相同,动量相同
C.加速度相同,速度不同 D.动量相同,速度相同
4.关于简谐运动物体的平衡位置,下列说法正确的是( )
A.是物体所受回复力为零的位置 B.是加速度为零的位置
C.是速度最大的位置 D.是位移的初位置
5.关于回复力,下列说法正确的是( )
A.回复力一定是物体受到的合外力 B.回复力只能是弹簧的弹力提供
C.回复力是根据力的作用效果来命名的 D.回复力实质上就是向心力
6.如图9.1-6所示的弹簧振子,振子质量为200g,做简谐运动,当它运动到平衡位置左侧2cm时,受到的回复力是4N,当它运动到平衡位置右侧4cm时,它的加速度大小为___________,方向为______________
7.弹簧振子在水平方向的运动是简谐运动,如把它竖直悬吊起来,让它在竖直方向运动,它在竖直方向的往复运动是否也是简谐运动
8.如图9.1-7所示,一质量为M的木架,竖直放在水平地面上,一轻质弹簧一端悬于木架的横梁上,另一端挂着用细线连接在一起的两物体A和B,mA=mB=m,剪断A,B间的连线后,A做简谐运动,当A运动至最高点时木架对地面的压力多大
[能力提升]
1.弹簧振子做简谐运动时,以下说法正确的是( )
A.振子通过平衡位置时,回复力一定为零
B.振子做减速运动,加速度却在增大
C.振子向平衡位置运动时,加速度方向与速度方向相反
D.振子远离平衡位置运动时,加速度方向与速度方向相反
2.如图9.1-8所示,物体置于平台上随平台一起做竖直方向的简谐运动,当物体对台面的压力最大时( )
A.振动平台运动到最高点
B.振动平台向下运动到平衡位置
C.振动平台运动到最低点
D.振动平台向上运动到平衡位置
3.关于简谐运动的位移,加速度和速度的关系,正确的说法是( )
A.位移减小时,加速度增大,速度增大
B.位移方向总和加速度方向相反,和速度方向相同
C.物体的速度增大时,加速度一定减小
D.物体向平衡位置运动时,速度方向和位移方向相同
4.某物体做简谐运动,当它经过平衡位置时( )
A.速度的方向将要发生变化 B.加速度的方向将要发生改变
C.动能开始向势能转化 D.势能开始向动能转化
5.做简谐运动的物体,受到的回复力为F,振动时的位移为x,速度为v,加速度为a,那么在F,x,v,a中,方向有可能相同的是( )
A.F,x,a B.F,v,a C.x,v,a D.F,x,v
6.做简谐运动的物体,其加速度a随位移x的变化规律是如图9.1-9的哪一个( )
7.一根劲度系数为k的轻弹簧,上端固定,下端悬挂另一质量为m的物体,让其上下振动,其最大位移为A,当物体运动到最高点时,其回复力大小为 .
8.在光滑的水平面上有一弹簧振子,弹簧的劲度系数为k,振子的质量为M,振动的最大速率为v0,如图9.1-10所示,当振子在最大位移为A的时刻,把质量为m的物体轻放其上,则要保特物体和振子一起振动,二者间的动摩擦因数至少为 .
9.如图9.1-11所示,有一根轻质弹簧将质量为m和M的木块A和B连接起来,置于水平地面上,试分析必须加多大力压木块A,才能在撤去压力A弹起后恰好使物体B离开地面
10.如图9.1-12所示,三角架质量为M,沿其中轴线用两根轻弹簧拴一质量为m的小球,原来三角架静止在水平面上,现使小球上,下振动,已知三角架对水平面的最小压力为零,求:
(1)当三角架对水平面压力为零时,小球的瞬时加速度;
(2)若上,下两弹簧的劲度系数均为k,则小球做简谐运动的最大位移多大
【参考答案】
[基础知识]
1.BC 2.C 3.AC 4.ABCD 5.C 6.40m/s2 向左 7.做简谐运动 8.吨
[能力提升]
1.ABD 2.C 3.C 4.BC 5.B 6.B 7.kA 8.
9.至少用F=(m+M)g的力压木块
10.(l)a= (2)最大位移xm=

（1）振动中的位移x都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置、大小为这两位置间的直线距离，在两个"端点"最大，在平衡位置为零。
（2）加速度 的变化与 的变化是一致的，在两个"端点"最大，在平衡位置为零，方向总是指向平衡位置。
（3）速度大小 与加速度 的变化恰好相反，在两个"端点"为零，在平衡位置最大。除两个"端点"外任一个位置的速度方向都有两种可能。

在平衡位置速度最大位移为零回复力最小 加速度最大