1⼀(1+x^2)的n阶导数怎么求？

请写出详细过程。我们老师也说用复数。但是i怎么消下去啊？

2024-11-17 11:31:05

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回答1：

这个好像没有很简单的形式吧。

这个相当于 arctan x的 n+1阶导数.
设 y= 1/(1+x^2)
可假设其n阶导数是 Pn(x)/(1+x^2)^(n+1)的形式，其中Pn(x)是关于x的一个多项式。 P0(x)=1。

这里我们求出Pn(x)的递推公式

y^(n) =Pn(x)/(1+x^2)^(n+1)

所以 (1+x^2)^(n+1) y^(n)= Pn(x)
两边对x求导
(n+1)(1+x^2)^n * (2x) y^(n) +(1+x^2)^(n+1) y^(n+1) =Pn'(x)

从而算出代入 y^(n)= Pn(x)/(1+x^2)^(n+1)
可以得到
y^(n+1)= (Pn'(x)-(n+1)xPn(x))/(1+x^2)^(n+2)

所以 Pn+1(x) = Pn'(x) - (n+1)xPn(x)

我们的递推基础是 P0(x)=1

因此其n阶导数是 Pn(x)/(1+x^2)^(n+1),其中

Pn+1(x)=Pn'(x) -(n+1)xPn(x)

比如由此可以算出

P1(x) =0 -2x =-2x
P2(x) = -2 +6x^2
等等

不知道是否满意这个答案。。。

有个简单的办法是：设 i^2=-1
则 y=1/(1+x^2)= 1/(x+i)(x-i) = 2i(1/(x-i)-1/(x+i))
这样用复数来表示，n阶导数就很好求了，因为这个转化为求
1/(x-i)这种简单函数的n阶导数，这里的i始终当常数看待即可。

用复数求出的n阶导数是
(-1)^n * 2i * (1/(x-i)^（n+1）- 1/(x+i)^(n+1))

如果非要想消掉i的话，括号里边通分，分母是（x^2+1）^(n+1)
分子是（x+i）^(n+1) - (x-i)^(n+1)

利用 a^(n+1)-b^(n+1)=(a-b)(a^n+a^(n-1)b+...+b^n)
的公式可以得到

(x+i)-(x-i)=2i

这个跟外面的2i相乘得到-4

剩下那个就要麻烦一点了
设 u为终边过 (x,1)的角
r=(√x^2+1)
则 (x+i)=r(cos u+ i*sin u)
(x-i)=r(cos (-u)+ i*sin (-u))
(x+i)^k=r^k(cos ku+i*sin ku)
记
这样可以把分子全部用复数的角形式来表示，
当n是奇数
(x+i)^n+(x-i)^n= r^n (cos nu+isin nu + cos nu -isin nu)=r^n*2cos nu

(x+i)^(n-1)(x-i)+ (x+i)(x-i)^(n-1)
= r^n(cos (n-2)u+isinc (n-2)u + cos (2-n)u+isin(2-n)u)=r^n 2cos (n-2)u
这样下去分子就变成了
2r^n (cos nu+ cos (n-2)u+...+cos 3u+ cos u)
在外边乘上一个sin u可以利用积化和差公式求和，然后就只能这样表示了，要换成x好像有点困难

n是偶数，用同样的办法你得到

2r^n(cos nu+...+cos 2u + 1)

其中 cos nu+...+cos 2u 乘上sin u可求和，同样的，要转化成x就很困难了，求和后有个cos(n+1)u