用极限的两边夹逼定理证明lim(1+2的n次方+3的n次方)的n次方分之一=3(n趋向无穷大）

2025-02-12 05:27:28

推荐回答（5个）

回答1：

证明如下：

根据题意可助：

3^n＜1+2^n+3^n＜3^(n+1)

n=1,2,3,...

(3^n)^(1/n)＜(1+2^n+3^n)^(1/n)＜[3^(n+1)]^(1/n)

即

3＜(1+2^n+3^n)^(1/n)＜3^[(n+1)/n)

原式=3

夹逼定理应用：

设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为：a。

若存在N，使得当n>N时，都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限为a。

夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定，f(x)的极限。

回答2：

∵3^n＜1+2^n+3^n＜3^(n+1)

(n=1,2,3,...)

∴(3^n)^(1/n)＜(1+2^n+3^n)^(1/n)＜[3^(n+1)]^(1/n)

即3＜(1+2^n+3^n)^(1/n)＜3^[(n+1)/n)--->3.(n--->∞)

∴由“两边夹定理”知,原极限=3

例如：

解析：

A = lim(3^n)^(1/n) = 3

B = lim(1+2^n+3^n)^(1/n)

C = lim(3^n+3^n+3^n)^(1/n) = lim 3^[(n+1)/n] = 3

因为A ≤ B ≤ C，且A = C = 3，

所以B = 3

扩展资料：

设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为：a

若存在N，使得当n>N时，都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限为a

夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限。

参考资料来源：百度百科-夹逼定理

回答3：

∵3^n＜1+2^n+3^n＜3^(n+1).(n=1,2,3,...)∴(3^n)^(1/n)＜(1+2^n+3^n)^(1/n)＜[3^(n+1)]^(1/n).即3＜(1+2^n+3^n)^(1/n)＜3^[(n+1)/n)--->3.(n--->∞).∴由“两边夹定理”知，原极限=3。

回答4：

放大：将1和2^n都放大成3^n，则是3^(n+1)/n，极限是3
缩小：将1和2^n都直接看成零，则恒为3，极限也是3
所以原式的极限是3

回答5：

想想也知道题目明显是错的 (1+2^n+3^n)^n当n趋向于无穷大时应该趋向于无穷大再来个倒数就是0了什么题目..