如何用高数证明当x趋于正无穷大时sinx除以根号x的极限为0

解题如下：

得说明是x趋近于正无穷大的极限。sinx是有界的，1/(根号x)是趋近于无穷大时的无穷小，有界量乘无穷小量还是无穷小。

数学定义

设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X,即x趋于无穷)，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。

在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a时f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，f(x)为无穷小，且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时，1/f(x)才为无穷大。

当x趋于无穷大的时候，sinx的极限不存在，但是|sinx|<=1，这就表明了当x趋于正无穷大时，sinx是有界函数，而1除以根号x（当x趋于正无穷大时）趋于0，是一个无穷小。

因此根据“无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小。”这一定理可得知，sinx除以根号x（当x趋于正无穷大时）仍是无穷小，即等于0。

扩展资料：

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限

4、利用无穷小的性质求极限

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限

7、利用两个重要极限公式求极限

X趋近正无穷时，sinx方／根号x等于0

当x趋于无穷大的时候，sinx的极限不存在，但是|sinx|<=1，这就表明了当x趋于正无穷大时，sinx是有界函数，而1除以根号x（当x趋于正无穷大时）趋于0，是一个无穷小。

因此根据“无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小。”这一定理可得知，sinx除以根号x（当x趋于正无穷大时）仍是无穷小，即等于0。

极限的求法有很多种类：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限

4、利用无穷小的性质求极限

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限

7、利用两个重要极限公式求极限

8、利用左、右极限求极限，（常是针对求在一个间断点处的极限值）

9、洛必达法则求极限

其中，最常用的方法是洛必达法则，等价无穷小代换，两个重要极限公式。

当x趋于无穷大的时候，sinx的极限不存在，但是|sinx|<=1，这就表明了当x趋于正无穷大时，sinx是有界函数，而1除以根号x（当x趋于正无穷大时）趋于0，是一个无穷小，因此根据“无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小。”这一定理可得知，sinx除以根号x（当x趋于正无穷大时）仍是无穷小，即等于0

sinx有界，所以极限为0