根号下a^2+x^2的原函数

设x=asint

则dx=dasint=acostdt

a^2-x^2

=a^2-a^2sint^2

=a^2cost^2

∫√（a^2-x^2）dx

=∫acost*acostdt

=a^2/4*(sin2t+2t)

将x=asint代入

∫√（a^2-x^2）dx=x√(a^2-x^2)/2+a^2*arcsin(x/a)/2

原函数定理

若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数。

例如：x3是3x2的一个原函数，易知，x3+1和x3+2也都是3x2的原函数。因此，一个函数如果有一个原函数，就有许许多多原函数，原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。

设x=asint

则dx=dasint=acostdt

a^2-x^2

=a^2-a^2sint^2

=a^2cost^2

∫√（a^2-x^2）dx

=∫acost*acostdt

=a^2∫cost^2dt

=a^2∫（cos2t+1）/2dt

=a^2/4∫(cos2t+1)d2t

=a^2/4*(sin2t+2t)

将x=asint代入

∫√（a^2-x^2）dx=x√(a^2-x^2)/2+a^2*arcsin(x/a)/2

扩展资料

若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。

函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，故若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个。

例如：x3是3x2的一个原函数，易知，x3+1和x3+2也都是3x2的原函数。因此，一个函数如果有一个原函数，就有许许多多原函数，原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。

根号下a^2+x^2的原函数
I=∫√（a^2+x^2)dx
=x√（a^2+x^2)-∫xd√（a^2+x^2)
=x√（a^2+x^2)-∫[x^2/√（a^2+x^2)]dx
=x√（a^2+x^2)-∫ √（a^2+x^2)dx+∫a^2dx/√（a^2+x^2)
则：2I=x√（a^2+x^2)+a^2∫[1/√（a^2+x^2)]dx
=x√（a^2+x^2)+a arcsin(x/a)+C1
I=x√（a^2+x^2)+a arcsin(x/a)+C

他答案错了答案心应该是 x二分之一倍的（x√（a^2+x^2)+a^2ln（x＋√（a^2+x^2))+C