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已知a,b,c都是正数，求证：(a+b+c)(1⼀a+1⼀b+1⼀c)>=9

2025-01-19 03:28:33

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回答1：

证：
(a+b+c)(1/a +1/b+ 1/c)
=1+ a/b +a/c +b/a +1+ b/c +c/a +c/b +1
=(a/b +b/a) +(b/c +c/b)+ (a/c +c/a) +3
a>0，b>0由均值不等式得：a/b+ b/a≥2，当且仅当a=b时取等号
同理，b/c+c/b≥2，当且仅当b=c时取等号；a/c+c/a≥2，当且仅当a=c时取等号
当且仅当a=b=c时，上述三不等式同时取等号
(a/b +b/a) +(b/c +c/b)+ (a/c +c/a)≥6
(a/b +b/a) +(b/c +c/b)+ (a/c +c/a)+3≥9
(a+b+c)(1/a +1/b+ 1/c)≥9，当且仅当a=b=c时取等号