求解奥数题！！！急！！！！

先从第三题说起吧
S= 15+ 195+ 1995+ 19995+ …… + 1(44个9)5，S就有 45个加数，就是
S= (20-5)+ (200-5)+ (2000-5)+ …… +(2*10的45次方 -5)

这样，就是(45个2)0 -45*5，既然题目只要 S的最后4位，我们只看22220-45*5即可
S的最后4位数 = 22220 - 450/2 = 22220-225 = 22000-5 = 21995
S的最后4位是 1995，1+9+9+5= 10+14= 24

第二题，
既然题目中说出了“除得的商恰好为7的倍数”，我们就把7的一个个倍数拿起来看。两位数，能被数字和整除，这也正是3和9的倍数的特征。
21、42、63、84，看吧 2+1=3，4+2=6，6+3=9，8+4=12

因为3、6、9、12 都是 3的倍数，所以21、42、63、84，也都是 3的倍数。
这里只要满足 7的倍数要求，就别忘了还有70，一共5个两位数，21、42、63、70、84

第一题，
一个四位数，首末两位数字相同，两个数字的和，又等于中间两位的数字的和。这样的四位数，我们首先就想到1111、2222、3333、4444，直到9999，还有1021、1201、2042、2132、2312、2402……怎么找到平方数呢？不如直接看看平方数的特征吧。

两位数的平方，我们看看完全平方公式，两位数的拾位看作数字a，个位看作数字b，这个平方就是(10a +b)"= 100a"+ 20ab +b"，三项式先看看头尾两项，100a"+ b"，这就说明，四位数有前两位 a"是平方数，后两位 b"也是平方数，再把 ab的乘积的两倍，加上中间两位上。

玩游戏不怕撕的数，我们见过 3025=55"，2025=45"，9801=99"，我们看看最大的两位数99，它的平方也正是这样，8181+ 20*81，中间 18+ 162= 180，平方数就是9801，这也是平方数的最大的四位数了。

怎样才能让四位数首末两位的数字相同呢？看1、4、9、16、25、36、49、64、81，平方数的个位只有1、4、9、6、5这五种情况，这个四位数的可能，就是1xx1、4xx4、5xx5、6xx6、9xx9这五种。

第一题
一个四位数，首末两位数字相同，两个数字的和，又等于中间两位的数字的和。这样的四位数，形式就像1111、1021、1201……怎么找到平方数呢？不如直接看看平方数的特征。

两位数的平方，正好使用完全平方公式，拾位看作数字a，个位看作数字b，这个平方就是(10a +b)"= 100a"+ 20ab +b"，三项式先看看头尾两项，100a"+ b"，这就说明，四位数的前两位是拾位数的平方a"，后两位是个位数的平方b"，+20ab 就是最后加上个位拾位乘积的20倍。

我们看看最大的两位数，99的平方，先是两个81，排成 8181，然后加上 20*81，就是 8181+ 1620= 9801，这也是平方数当中，最大的四位数了。

哪些四位数首末两位的数字相同呢？看1、4、9、16、25、36、49、64、81，平方数的个位只有1、4、9、6、5这五种情况，这个四位数的可能，就是1xx1、4xx4、5xx5、6xx6、9xx9这五种。

先从大的9xx9看起吧。99的平方也只有9801，要想四位数千位是9，两位数也要十位是9，要想四位数个位也是9，两位数个位只有 3和7。97"= 8149+ 20*9*7= 8149+1260 =9409，不对。93"= 8109+ 20*9*3= 8109+540 =8649，也不对，9xx9 没可能了。

看看6xx6的可能，两位数就是84和86。84"= 6416+ 20*8*4= 6416+640 =7056，不对。86比84大，就不用算了，6xx6 也没可能了。

看看5xx5的可能，两位数就只有75，75"= 4925+ 20*7*5= 4925+700 =5625，不对，5xx5 也没可能了。

看看4xx4的可能，两位数就是72、68和62。72"= 4904+ 20*7*2= 4904+280 =5184，不对。68"= 3664+ 20*6*8= 3664+960 =4624，4+4 =6+2 =8，这个四位数终于找出来了，是 4624

再看看其他可能，62"= 3604+ 20*6*2= 3604+240 =3844，不对。1xx1的可能，就是31和39。39"= 981+ 20*3*9= 981+540 =1521，不对。31"= 901+ 20*3*1= 901+60 =961，不对。没有其他可能了。题目要求的四位数，只有唯一的 4624

第二题
既然题目中说出了“除得的商恰好为7的倍数”，我们就把7的一个个倍数拿起来看。两位数，能被数字和整除，这也正是3和9的倍数的特征。
21、42、63、84，看吧 2+1=3，4+2=6，6+3=9，8+4=12
因为3、6、9、12 都是 3的倍数，所以21、42、63、84，也都是 3的倍数。
这里只要满足7的倍数要求，就别忘了还有70，一共5个两位数，21、42、63、70、84

第三题
S= 15+ 195+ 1995+ 19995+ …… + 1(44个9)5，S就有 45个加数，就是
S= (20-5)+ (200-5)+ (2000-5)+ …… +(2*10的45次方 -5)
这样，就是(45个2)0 -45*5，既然题目只要 S的最后4位，我们只看22220-45*5即可
S的最后4位数 = 22220 - 450/2 = 22220-225 = 22000-5 = 21995
S的最后4位是 1995，1+9+9+5= 10+14= 24

1、4624 它是68的平方。
这道题可以这样想，一个完全平方数，它的个位上的数字只能是1、4、5、6、9
如果个位是1的话，这个两位数可能是31或39，检查后不符合要求；如果个位上是4的话，这个两位数可能是68或72，经检验68符合要求；个位上是5的话，这个两位数可能是75，检查后不符合要求；个位上是6的话，这个数可能是78、84或86，检查后不符合要求；个位上是9的话，这个数可能是93或97，检查后不符合要求。
2、设这个两位数十位上是A，个位上是B ，根据题意可知
10A+B=7（A+B） 整理得A=2B
所以符合要求的两位数有21、42、63、84
3、S=20+200+200+……+20（44个0）-5*45
因此S的末四位就和2220-225的末四位一样是1995，这四个数字的和是24

② 21 42 63 70 84

③{15+195+1995+19995+...+1(44ge9)5}mod(10000)
=(2205+42*9995)mod(10000)=(2205+42*10000-42*5)mod(10000)
=2205-42*5=1995
1+9+9+5=24