“实变函数”的用途

1. 以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。

2. 是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。

3. 所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度。

4. 实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。

5. 实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集一个数量上的概念，这个概念叫做测度。

6. ，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支中的应用是现代数学的特征。

7. 实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛函分析两个重要分支有着极为重要的影响。

8. 在微积分学中，主要是从连续性、可微性、黎曼可积性三个方面来讨论函数（包括函数序列的极限函数）。如果说微积分学所讨论的函数都是性质“良好”的函数（例如往往假设函数连续或只有有限个间断点），那么，实变函数论是从连续性、可微性、可积性三个方面讨论最一般的函数，包括从微积分学来看性质“不好”的函数。

9. 所得到的有关的结论自然也适用于性质“良好”的函数。实变函数论是微积分学的发展和深入。函数可积性的讨论是实变函数论中最主要的内容。

10. 包括H.L.勒贝格的测度、可测集、可测函数和积分以及少许更一般的勒贝格－斯蒂尔杰斯测度和积分的理论（见勒贝格积分）。这种积分比黎曼积分是更为普遍适用和更为有效的工具，例如微积分基本定理以及积分与极限变换次序。
    

实变是数学分析的继续和深入。

Riemann积分是用容度搞出来的，所以对可积性要求很高。这就使得很多图形不能谈面积或体积一类的东西，甚至一般的可积性的讨论都不能很彻底。

实变里面将搞出一个叫Lebesgue测度的东西，用这个来代替容度，发展出一套关于积分的理论，比原来的Riemann积分的使用范围更广泛。可能还会涉及更一般的测度和积分。

比如将来学概率时，那里面的积分，就不是通常的Riemann积分而是更一般的积分。

另外，关于Fourier级数的理论，分析里就讲的不是很多，原因是不用测度只用容度就说不清楚，这些要到实变里来解决。历史上这也是实变之所以发展起来的一个主要原因。

其他的后续课程很多都要实变支撑，比如泛函，偏微，还有刚才说的概率等等。

工具，就像老虎钳，起子，以后用得着