15问答网 > 高等数学函数f（x）=（1+x）^1⼀x,证明存在常数A,B，使得x趋于0+时，恒f（x）=e+AX+BX^2+o(x^2),求A,B

高等数学函数f（x）=（1+x）^1⼀x,证明存在常数A,B，使得x趋于0+时，恒f（x）=e+AX+BX^2+o(x^2),求A,B

第31题要过程

2024-11-03 00:14:14

推荐回答（3个）

回答1：

简单计算一下即可，答案如图所示

回答2：

(1+x)^(1/x)=e^(1/x*ln(1+x))
而ln(1+x)的展开式为：【我就不推导了，可以先求∑1/(1+x)，再积分】
ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k 式中(|x|<1)
则ln(1+x)/x的展开式为：
ln(1+x)/x=1-x/2+x^2/3-……+(-1)^(k-1)*(x^(k-1))/k 式中(|x|<1)
所以:
(1+x)^(1/x)=e^(1/x*ln(1+x))
=e^【1-x/2+x^2/3-……+(-1)^(k-1)*(x^(k-1))/k 】
~e*[1-x/2+x^2/3]
=e*e^(-x/2)*e^(x^2/3)
=e*(1-x/2+1/(4*2!)x^2+o(x^2)*(1+(x^2/3)+o(x^2))
=e-e/2x+11e/24x^2+o(x^2)
所以 A=-e/2, B=11e/24

回答3：