求微分方程y″+y=cosx的通解

微分方程y″+y=x+cosx对应的齐次微分方程为y''+y=0

特征方程为t2+1=0

解得t1=i，t2=-i

故齐次微分方程对应的通解y=C1cosx+C2sinx

因此，微分方程y″+y=x+cosx对应的非齐次微分方程的特解可设为y*=ax+b+x（csinx+dcosx）

y*'=a+csinx+dcosx+cxcosx-dxsinx

y*''=ccosx-dsinx+ccosx-cxsinx-dsinx-dxcosx

将y*，y*'，y*''代入微分方程y″+y=x+cosx消去即可得到：

ax+b+2ccosx-2dsinx=x+cosx

则有：

a=1

b=0

2c=1

-2d=0   

即

a=1

b=0

c=1/2

d=0   

所以，非齐次微分方程的特解为y*=x+（1/2）xsinx

由于非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解

所以，微分方程y″+y=x+cosx的通解为y+y*=C1cosx+C2sinx+x+（1/2）xsinx．

参考资料：通解（微分方程）——百度百科

答案在图片上，满意请点采纳，谢谢。

愿您学业进步☆⌒_⌒☆

原方程对应齐次方程y''+y=0的特征方程为：
r²+1=0，其特征根为：
r₁=i，r₂=-i，
所以齐次方程的通解为：
y=C₁cosx+C₂sinx．
设非齐次方程y''+y=cosx的一个特解为：
y₂=Excosx+Dxsinx，代入该方程，得E＝0，D＝

简单计算一下即可，答案如图所示

非齐次通解就是一个特解加上齐次通解。
y’-y=cosx猜特解有1/2(-sin x+cos x)，通解就是y’-y=0的解，dy/y=dx，y=Cexp（x），
通解就是Cexp（x）+1/2(-sin x+cos x)（C为任意常数）。