数学史上的三次危机？无理数是怎样产生的？尺规作图三大不可能问题？

【尺规作图不能问题简介】 尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题。这其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题：

■三等分角问题：三等分一个任意角；

■倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；

■化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。

在2400年前的古希腊已提出这些问题，直至1837年，法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题。1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后，“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题。

【尺规作图不能问题的另类做法】

■总述

人们用尺规解几何三大作图题屡遭失败之后，一方面是从反面怀疑它是否可作；另一方面就很自然地考虑，假如跳出尺规作图的框框，也就是不限用尺规，而是借助于另外一些曲线，或者借助于尺规以外的一些工具，是不是可解决这些问题呢？

人们发现，一旦跳出了尺规作图的框框，问题的解决将是轻而易举的.这方面的工作已经有许多人做过，而且取得了不少成就，下面的词条内容就择要介绍一二.

■关于三等分一任意角问题

★作法一

尼科梅德斯(Nicomedes，公元前250年左右)方法对于已知锐角∠O，在角的一边上取任意点B，作OB的垂线，交∠O的另一边于点A.以O为定点，BA为定直线，2OA为定长，作出蚌线的右支C.从点A作BA的垂线，和蚌线C相交于点S，那么∠BOS=1/3∠BOA

★作法二

帕斯卡(Pascal，B.1623—1662)的方法，对于∠AOB，在其一边上取任意长OA做半径，以点O为圆心作一圆(图12).延长AO，和圆O交于点C.以圆O为定圆，以C为定点，以定圆O的半径为定长，作一蚶线蚶线和角的另一边OB相交于点E.连结CE，过点O作OS‖CE，那么∠BOS=1/3∠BOA

★作法三

帕斯卡(Pascal，B.1623—1662)的方法，对于∠AOB，在其一边上取任意长OA做半径，以点O为圆心作一圆(图12).延长AO，和圆O交于点C.以圆O为定圆，以C为定点，以定圆O的半径为定长，作一蚶线蚶线和角的另一边OB相交于点E.连结CE，过点O作OS‖CE，那么∠BOS=1/3∠BOA

★作法四

玫瑰线方法：交∠AOB的两边于点A和B，分别以O和A为圆心，a为半径画弧，两弧交于点S，则有∠BOS=1/3∠BOA

■关于立方倍积问题

★作法一

柏拉图(Plato，公元前427—347年)的方法：作两条互相垂直的直线，两直线交于点O，在一条直线上截取OA=a，在另一条直线上截取OB=2a，这里a为已知立方体的棱长.在这两条直线上分别取点C、D，使∠ACD=∠BDC=90°(这只要移动两根直角尺，使一个角尺的边缘通过点A，另一个角尺的边缘通过点B，并使两直角尺的另一边重合，直角顶点分别在两直线上，这时两直角尺的直角顶点即为点C、D).线段OC之长即为所求立方体的一边.

★作法二

门纳马斯(Menaechmus，约公元前375—325年)方法：从a∶x=x∶y=y∶2a可得

y2=2ax，x2=ay.所以，在直角坐标平面上画出上述两个二次方程所对应的两条抛物线(图16).这两条抛物线交于O、A两点，那么点A在x轴上的投影到原点的距离，就是所求的立方体的棱长.

★作法三

阿波罗尼(Apollonius de Perge，约公元前260—200年)方法：作一矩形ABCD，这里AB=a、AD=2a.以此矩形对角线交点G为圆心，以适当长度为半径作圆，与AB、AD之延长线分别交于E、F，使E、C、F三点共线，则AB∶DF=DF∶BE=BE∶AD，线段DF之长即为所求立方体的棱长.

■化圆为方问题

★作法：对于已知圆O，作出它在第一象限的圆积线①l.连结这一圆积线的两个端点B、F，过点B引BF的垂线BG，交x轴于G.在OA上取一点H，使HA=1/2GO.以H为圆心，HG为半径画弧，交y轴于点K.则以OK为一边的正方形，即为所求作的与圆O等积的正方形．

[编辑本段]

编辑本段]

阿纳克萨戈勒斯是古希腊著名学者,在天文学中,他曾因解释日,月食的成因而闻名遐迩,并且认识到月球自身并不发光.正是他出色的研究成果给他带来了不幸,在他大约50岁的时候,横祸从天而降,蒙受了冤狱之苦.灾难的起因是他认为太阳是一块炽热的石头.由于当时的宗教早已一口咬定太阳是神灵,而这位学者却无视宗教的权威,说太阳是一块石头,因而被投入监狱.

尽管被囚禁的时间并不太长,可是,在被囚禁的日子里冤屈,苦闷,无聊实在让人度日如年.在阴暗,潮湿的牢房里,阿纳克萨戈勒斯看不到外面的朝霞暮霭,每天只有不长时间,阳光能穿过牢房那狭小的方形窗户进入室内.每当阳光进入囚室,在墙壁上撒下一片光亮时,总会引起作为学者的他的种种联想.

有一天,他在凝视圆圆的太阳赏赐给他的方形的光亮时,他那习惯于思索的头脑突发奇想:能不能(仅用直尺和圆规)作一个正方形,使其面积与一个已知圆的面积恰好相等呢 就这样,一道世界名题——"化圆为方"问题诞生了,它与"立方倍积"问题,"三等分任意角"问题一起被后人称作古希腊几何作图三大难题. 阿纳克萨戈勒斯想到化圆为方问题之后非常兴奋,因为他身边没有书籍,没有笔,很难研究别的问题,而这个问题却不同,只要用草棍在地上画就行了,草棍在牢房里有的是.

他在进入高墙之前做梦也没有想到,在他最痛苦的时候,是数学排除了他的几分烦恼.不过,他一生也未能解决他提出的这个问题。

第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。第二次数学危机的解决使微积分更完善第三次数学危机，发生在十九世纪末。当时英国数学家罗素把集合分成两种。
教材以古希腊的数学家计算面积等于2的正方形边长活动入手，发现这个边长不能化成分数，进而发现既不是有限小数，又不是无限循环小数。朱同学借助科学计算器，（用无穷逼近法求近似值）计算x2=2中的x,，感受x是一个无限不循环小数，对概念有了进一步的理解。勿容置疑，这样处理较传统教材是一大进步。
立方倍积：做一条线段，使它构成的正方体体积等于已知线段构成正方体体积的2倍。
三等分角：把一个角三等分。
化圆为方：做一条线段，使其构成的正方形面积等于已知线段为半径构成的圆的面积。

呵呵，有一个交大附中的。我也是