y=x^2*sin2x,求y的50阶导数

对于函数乘积y=f(x)*g(x)的n阶导数有展开公式：

y(n)=c(n,0)f(x)g(x)(n)+c(n,1)f(x)(1)g(x)(n-1)+c(n,2)f(x)(2)g(x)(n-2)+........c(n,n)f(x)(n)g(x)。

其中:

y(n)表示y的阶导数，c(n,0)是排列组合，f(x)(n)表示f(x)的n阶导数，g(x)(n)表示g(x)的n阶导数。

对于本题：

f(x)=x^2,g(x)=sin2x

f(x)(1)=2x,f(x)(2)=2,f(x)(3)=0

所以：

y(50)=c(50,0)*x^2*(sin2x)(50)+c(50,1)*(2x)*(sin2x)(49)+c(50,2)*2*(sin2x)(48).

=x^2(sin2x)(50)+100x*(sin2x)(49)+2450(sin2x)(48)。

2^50[-x²sin2x+50xcos2x+(1225/2)sin2x]

扩展资料

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。

反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

50阶导数计算如下：

简单计算一下即可，答案如图所示

套用莱布尼兹定理可以求出，X的平方超过两阶导就为零了，所以只有三项。

最后的答案应该是1225改为2450，倒数第三忘了乘v的2阶导