已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1） 2 ，其中，a为实常数且a≠0．（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若

2024-12-05 00:31:02

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回答1：

（Ⅰ） f ′ (x)=

x+1

+2(x+1)=

2 (x+1) 2 +a

x+1

（2分）
因为f（x）的定义域为（-1，+∞），所以x+1＞0
当a＞0时，f′（x）＞0，此时f（x）的单调增区间为（-1，+∞）（4分）
当a＜0时，2（x+1）² ＞-a，即 x＞-1+

时f′（x）＞0，
此时f（x）的单增区间为 (-1+

，+∞) （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在（-1，+∞）单调增，而当x→0时，f（x）→-∞
所以此时f（x）无最小值，不合题意（7分）
当a＜0时，f（x）在 (-1，-1+

) 上单调减，在 (-1+

，+∞) 上增，
所以 f(x)≥

恒成立，即 f(-1+

)≥

?aln

) 2 ≥

（10分）
?ln

≤1 ，得 0＜

≤e?-2 e 2 ≤a＜0. （12分）