求半个正态分布的数学期望

设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]
其实就是均值是u，方差是t^2，百度不太好打公式，你将就看一下。
于是：
∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t。。。。。。（*）
积分区域是从负无穷到正无穷，下面出现的积分也都是这个区域，所以略去不写了。

（1）求均值

对（*）式两边对u求导：
∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0

约去常数，再两边同乘以1/(√2π)t得：
∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0

把(u-x)拆开，再移项：
∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx

也就是
∫x*f(x)dx=u*1=u

这样就正好凑出了均值的定义式，证明了均值就是u。

(2)方差
过程和求均值是差不多的，我就稍微略写一点了。

对(*)式两边对t求导：
∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π

移项：
∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2
也就是
∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2
正好凑出了方差的定义式，从而结论得证。