高分求解一道数学题:

2025-01-02 14:07:58
推荐回答(5个)
回答1:

假设去掉任一道题,都有两人答案相同

横轴为题号,竖轴为人编号

1号people为初始答案,其他人答案以1代表与其相反,0代表相同

从第十道题开始依次至第一道,以与1号people第十道题不同者为2号,与2号people第九题不同者为3号,依此类推,则可得去除第一道时,没有两个人做对的题目完全相同,与假设矛盾,又因题号假设顺序任意,原命题得证。

回答2:

证明有问题:
“若否命题成立,则不同的题目去掉后,满足条件的两人也必不同。这样就需要20人才能满足”,20人才能满足,这个结论有问题!
设10道题分别用1,2,…,10表示,故10道题构成的集合为S={1,2,…,10},如果是11个人,11个人分别做对的题目构成的集合为
{1,2,3,…,10}(全对),{2,3,4,…,10}(除1外),{1,3,4,…,10}(除2外),…,{1,2,3,…,9}(除10外),
此时去掉任意一道题之后,必有两个人做对的题目完全相同。不需要20人,只需11人就能确保去掉任意一道题之后,必有两个人做对的题目完全相同。
下面给出一个证明供你参考:

证明 设10道题分别用t1,t2,…,t10表示,故10道题构成的集合为
S={t1,t2,…,t10},
10个人分别做对的题目构成的集合为S1,S2,…,S10,显然S1,S2,…,S10,均是S的子集,且由题意可知S1,S2,…,S10两两不同。
下面用反证法证明该题的结论,如果不存在一道题去掉它之后,仍然没有两个人做对的题目完全相同。即去掉任意题之后,必有两个人做对的题目完全相同,如去掉t1之后,必存在不同的i,j,有Si-t1=Sj-t1,由题意Si与Sj不同,故t1必属于且仅属于Si和Sj之一,不妨设t1属于Sj,但不属于Si,故Si必是Sj的真子集(Si中的元素个数比Sj仅少一个,缺少一个t1),换言之,S1,S2,…,S10中至少有一个集合不含有t1,并且另有一个集合包含它,比它仅多一个元素t1,这两个集合形成一对,同理,S1,S2,…,S10至少有一个集合不含有t2,t3,…,t10,并且该集合与另外一个集合形成一个对子,该集合是它配对集合的真子集,前者元素个数比后者仅少一个,象上面Si,Sj一样,不妨就用S1,S2,…,S10分别表示不含有t1,t2,…,t10的集合,下面证明这些集合两两不相同,如果S1与S2是同一个集合,则与它配对的集合Sk,必含有t1,t2,此时集合Sk比S1或S2多两个元素,这是不可能的,故S1,S2,…,S10两两不相同,此时与S1,S2,…,S10分别形成对子的集合必在S1,S2,…,S10这些集合之中,设Sk是S1,S2,…,S10中含有元素最多的一个集合,与Sk配对的集合也必在S1,S2,…,S10这些集合之中,但与Sk配对的集合的元素较Sk的元素多,这也是不可能的,完成了反证法的证明。

回答3:

我试着用图论的办法来解决

构造一个n点无向图,每点代表一个子集,两点间有路径相连当且仅当两子集的差只有一个元素,并且此子集对为“差为此元素的子集对中最小的一组”

我这种证明的核心在于图的定义,主要是边,我对所有的无序子集对(顶点对)定义了一种良序关系(事实上,由于子集对有限,故良序关系一定存在,这里只是举出一例),子集对(这里a,b,c,d为下标数) 当且仅当min{a,b}而边的有无判断不仅基于两顶点对应子集的差,也基于这个序,两点间有边当且仅当这两点对应集合的差只包含一个元素(设为a),并且这个顶点对(子集对)是所有差为a的子集对中最小的那对(大小根据前所述良序定义)。

根据以上定义得出的图,对集合的任意元素a来说,至多有一条边,其端点对应子集的差为a(重要!),于是就有接下去关于无回路的证明了~

首先证明引理:按此定义构造的图中不存在回路
证:假设存在回路v1-v2-v3-...-vk-v1
实际上很显然,若存在v1-v2-v3-…-vk,则按图定义,v1与vk间必有k-1题不同,故v1与vk间不存在边。
k=3时,显然
假设k=i时成立
k=i+1时,v1与vk-1间有k-2个元素不同,因vk-1与vk相连,故这两集合间只有1元素不同(设为p),若p不属于那k-2个元素的集合,则v1与vk有k-1元素不同,若p属于那k-2个元素的集合,则有两条边都以一个元素为差,与图定义矛盾。
引理得证

然后就是图论中的问题:在n点图中,若无回路,一定少于等于n-1条边
证:图的基本性质

这个图论的结论翻译成原题,就是最多有n-1个元素,使得去掉它们其一后有相同子集。
于是得证

回答4:

这个题为否命题。
反例:假设10个人做的十道题全对任意两个人所做题有9道相同则总共只有11道题去掉任意一道题都会使10个人做的题相同

回答5:

我给个答案吧,用反证法

给十个题编号为1,2。。。10,每个人对应集合Si,若该人做对了题1,则1
属于Si,否则不属于
假设去掉任意一道题之后,都必然有两个人做对的题目完全相同
不妨设设第一人的集合为S1不为空集,则随便去掉一道属于S1的题j后,有另一个集合等同于S1
又知道在没去掉这道题之前这两人不同,则这个集合为S1/j
以此类推得出某人为空集
这里的矛盾应该看得出来吧

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