利用格林公式计算

掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。

1.格林公式  设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数,,,PxyQxy在D内具有一阶连续偏导数，则有

第三节  格林公式及应用  3.1  学习目标  掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.  3.2  内容提要  1.格林公式  设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数,,,PxyQxy在D内具有一阶连续偏导数，则有

其中L是D的取正向的边界曲线．   

【注】（1）格林公式揭示了二重积分与曲线积分的联系． 

（2）D可以是复连通区域． 

（3）L为正向的封闭曲线，P(x,y)、Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数，两者缺一不可．在利用格林公式计算曲线积分时，若L不封闭，则考虑适当补边使之封闭；若在D内函数有奇点，应考虑将奇点挖掉．  

（4）当P=-y，Q=x时，可求出封闭曲线所围区域的面积

2.平面上曲线积分与路径无关的条件  

设区域G是一个单连通域，函数P(x,y)、Q(x,y)在区域G内具有一阶连续的偏导数，则曲线积分

在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充 要条件是

在G内恒成立．  

【注】若曲线积分与路径无关，在进行曲线积分的计算时，可以在G内选择简单路径，选择折线是常用的方法。

3.  典型例题与方法  

基本题型I：利用格林公式求第二类曲线积分  

例1  填空题