一道高等数学选择题

2025-01-20 16:55:58
推荐回答(4个)
回答1:

与积分区域有关 不同的积分区域 是不一样的
比如积分区域为 x^2+y^2=a^2
此时(x+y)^3的二重积分是恒等于0的

如果积分区域为 x属于[0,1/2] y属于[0,1/2]
(x+y)^2 二重积分大于(x+y)^3
如果积分区域为 x属于[1,2] y属于[1,2]
(x+y)^2 二重积分小于(x+y)^3

一眼可以看出来
因为D:(x-2)^2+(y-1)^2 <=1
所以积分区域是在xOy面上 以(2,1)为圆心 半径小于1的圆
此圆内 x+y恒大于等于1
所以(x+y)^3恒大于(x+y)^2
所以(x+y)^3二重积分恒大于(x+y)^2

当然正规的方法是
求∫∫(x+y)^3 dxdy -∫∫(x+y)^2 dxdy
看其大于0还是小于0
即∫∫[(x+y)^3-(x+y)^2] dxdy
因为知道积分区域 D:(x-2)^2+(y-1)^2 =a^2 (a^2<=1)
即 x属于[2-|a|,2+|a|]
y属于[1-根号下(a^2-(x-2)^2),1+根号下(a^2-(x-2)^2)]
可以积分出 具体表达式 到时候在a^2<=1的前提下判断 表达式 大于还是小于0即可

回答2:

这个不一定的,与D有关

如果D包含的区域上任何一点都有(x+y)^2>=(x+y)^3

比如D在4象限.

那么前者积分大,反之亦是.

但是前者积分大,并不能得出D包含的区域上任何一点都有(x+y)^2>=(x+y)^3

如D中点不存在上说严格的大小关系,那就比较难判断了,一般可以把D分成几个区

(这几个区可以做大小讨论)再做讨论,或者直接积分,如可能的话

如D:(x-2)^2+(y-1)^2 <=1 .
显然我们可以考察直线x+y=1,和圆无交点,而且圆在直线的右边,也就是当x+y>1的情况下才有交点

所以我们可以这样讲,该D区域上任何点(x,y)都有x+y>1
所以(x+y)^2<(x+y)^3

所以积分后者大

如果画图,可以一眼看出来,不难

回答3:

这个和区域D很有关系,形象来说,就是要讨论二重积分的几何意义。
书上应该有写:二重积分里边的积分范围就是在XY(或YZ、ZX)平面的一片区域,而给出的积分式子,就拿你这个来说,就是一个z(x,y)的表达式,这个二重积分他表示的是以D区域为底,z(x,y)为顶面的一个立体图形的体积。
你给出了上底面的函数表达,但是你不知道具体哪个底面,所以如果底面选的不同——也就是D,那么体积上的大小关系也就是不确定的。

回答4:

(x-2)^2+(y-1)^2 <=1 可设 x=(2+sin(n))*L , y=(1+cos(n))*L
其中 0<=n <=2π , 0<=L <=1:
z1=(x+y)^3 ,z2=(x+y)^2
有z1-z2=(x+y-1)*(x+y)^2
将 x=(2+sin(n))*L , y=(1+cos(n))*L代入上式
可得z1-z2=(2+sin(n)+cos(n))*(x+y)^2
其中-√2<=[sin(n)+cos(n)]<=√2
故可知z1-z2>=0
所以 可知在(x-2)^2+(y-1)^2 <=1 条件下,在立体空间坐标中
(x+y)^3所有点在(x+y)^2上方,故有前者>后者的二重积分~~ 积分给咱吧~~ 咱有重要的事~~~