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15问答网 > 已知等差数列{a n }的首项a 1 =3，公差d≠0，其前n项和为S n ，且a 1 ，a 4 ，a 13 成等比数列．（Ⅰ）求

已知等差数列{a n }的首项a 1 =3，公差d≠0，其前n项和为S n ，且a 1 ，a 4 ，a 13 成等比数列．（Ⅰ）求

2025-01-18 16:09:31

推荐回答（1个）

回答1：

由a₁ ，a₄ ，a₁₃ 成等比数列，得 a 4 2 = a 1 a 13 ，
即 ( a 1 +3d ) 2 = a 1 ( a 1 +12d) ，所以 a 1 2 +6 a 1 d+9 d 2 = a 1 2 +12 a 1 d ．
9d² =6a₁ d， a 1 =

3

2

d ．则 d=

2

3

a 1 =

2

3

×3=2 ．
（Ⅰ）a_n =a₁ +（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1；
（Ⅱ） S n =n a 1 +

n(n-1)d

2

=3n+ n 2 -n=n(n+2) ．
则

1

S n

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

) ，
所以

1

S 1

+

1

S 2

+…

1

S n

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2(n+1)

-

1

2(n+2)

＜

3

4

．

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