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求极限lim(x->0) （arcsinx-sinx)⼀(arctanx-tanx)

我想用等价无穷小代换做，不知道对不对，简略过程如图。

2025-01-14 11:41:34

推荐回答（5个）

回答1：

x->0时，分子分母的值分别都等于0，所以原式是“0/0型”，用洛比达法则对分子分母分别求导再求极限即可。求导为：（1/√(1-x^2)-1）/(1/(1+x^2)-1)。再求导为，然后分子分母分别约掉一个x，代值得极限为 -1/2：

回答2：

可以的，因为它们展开到x^3后都是加一个x^3的高阶无穷小，求极限过程中省略高阶无穷小就得到你的结果。

回答3：

个人感觉最好的方法：麦克劳林公式
arcsinx = x + x^3/6+o(x^3),sinx = x - x^3/6 + o(x^3),
arctanx = x - x^3/3 +o(x^3),tanx = x+x^3/3 + o(x^3)
lim(arcsinx-sinx)/(arctanx-tanx)=lim(上述式子代入) = -1/2

回答4：

最好别这么做，会导致你理解上出现问题

回答5：

分子作为一个整体还能拆开来用等价无穷小？你这方法绝对有问题，就从分子来看，它是两项相加，你用了两次等价，你觉得这样做对吗？