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已知abc为正数，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc

2024-12-03 10:10:29

推荐回答（2个）

回答1：

∵a+b+c=1
∴1-a=b+c
同理可知
1-b=a+c
1-c=a+b
a、b、c都是正数
（√a-√b）²≥0
a+b≥2√ab
同理可得
a+c≥2√ac
b+c≥2√bc
(1-a)(1-b)(1-c)
=（b+c）（a+c）（b+c）≥2√bc2√ac2√ab
=8√bcacab
=8abc
∴(1-a)(1-b)(1-c) ≥8abc

回答2：

解：本题主要考察重要不等式。
∵a+b+c=1 ，∴1-a=b+c，同理1-b=a+c，1-c=a+b，因为a、b、c都是正数，所以a+b≥2√ab，同理可得a+c≥2√ac，b+c≥2√bc，所以(1-a)(1-b)(1-c)=（b+c）（a+c）（b+c）≥2√bc2√ac2√ab=8√(abc)^2=8abc，即(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc