limx趋于无穷(sin根号(x+1)-sin根号(x-1)),

sin根号(x+1)-sin根号(x-1)
=2 sin[(根号(x+1)-根号(x-1))/2]cos[(根号(x+1)+根号(x-1))/2]
然后利用夹逼原理
0<=|sin根号(x+1)-sin根号(x-1)|=|2 sin[(根号(x+1)-根号(x-1))/2]cos[(根号(x+1)+根号(x-1))/2]|
=2|sin[(根号(x+1)-根号(x-1))/2]|*|cos[(根号(x+1)+根号(x-1))/2]|
<=2|sin[(根号(x+1)-根号(x-1))/2]|
然后求sin[(根号(x+1)-根号(x-1))/2]的极限即可
分子有理化
根号(x+1)-根号(x-1)
=[根号(x+1)-根号(x-1)][根号(x+1)+根号(x-1)]/[根号(x+1)+根号(x-1)]
=[(x+1)-(x-1)]/[根号(x+1)+根号(x-1)] (平方差公式)
=2/[根号(x+1)+根号(x-1)]
sin[(根号(x+1)-根号(x-1))/2]=sin[1/(sin[(根号(x+1)+根号(x-1))/2])]->0
因为根号(x+1),根号(x-1)->无穷,分子是O(1)的
所以由夹逼定理一定有极限为0