证明ln(n+1)<1+1⼀2+1⼀3+……+1⼀n

当x>0时，有个常用不等式：
ln(1+x)∴
ln[(n+1)/n]=ln(1+1/n)<1/n
ln[n/(n-1)]=ln[1+1/(n-1)]<1/(n-1)
……
ln[(2+1)/2]=ln(1+1/2)<1/2
ln[(1+1)/1]=ln(1+1)<1

以上n个不等式相加，左边利用对数性质求对数和，真数可相消：
左=ln{[(n+1)/n][n/(n-1)]……[(1+1)/1]}<1+1/2+1/3+……+1/n=右

即：ln(n+1)<1+1/2+1/3+……+1/n

∫（1/x）dx ＜ ∫(1/n)dx = 1/n （定积分的积分区间是[n , n+1]）,利用这个关系可以得到 n 个不等式，将这些不等式相加后左边是 n 个定积分的和的形式，然后可以根据定分的性质将这些区间合并为 [1 ,n+1] ,最终得到的结果就是 ln（n+1）＜ 1+1/2+1/3+……+1/n 。

这个是针对高中水平童鞋的答案，大学童鞋的话，这就太简单了，自己动手就很简单了
记左边fn,右边gn，f1=1＞g1=ln2+1/4≈0.693+0.25
①
fn+1
-fn=1/（n+1），gn+1
-gn=ln(1+1/(n+1))+0.5*[1/(n+1)-1/(n+2)]
令δ=(fn+1
-fn)-(gn+1
-gn)=0.5(1/(n+1)+1/(n+2))-ln(1+1/(n+1))
又令x=1/(n+1）则δ=0.5（x+x/(1+x)）-ln(1+x)
由于n≥1，0＜x≤0.5，2/3≤1/(1+x)＜1
对δ求导δ‘=0.5（1+1/(1+x)²）-1/(1+x)
=0.5[1-1/(1+x)]²＞0
所以fn+1
-fn＞gn+1
-gn对于任意n成立
②
由①②可知fn+1=f1+∑（fk+1
-fk）＞g1+∑（gk+1
-gk）=gn+1
此即原不等式
证明完毕

当x>0时，有个常用不等式：
ln(1+x)导数
法很容易证明的】
∴
ln[(n+1)/n]=ln(1+1/n)<1/n
ln[n/(n-1)]=ln[1+1/(n-1)]<1/(n-1)
……
ln[(2+1)/2]=ln(1+1/2)<1/2
ln[(1+1)/1]=ln(1+1)<1
以上n个
不等式
相加，
左边
利用
对数
性质求对数和，真数可相消：
左=ln{[(n+1)/n][n/(n-1)]……[(1+1)/1]}<1+1/2+1/3+……+1/n=右
即：ln(n+1)<1+1/2+1/3+……+1/n