xy✀✀＝y✀－xy✀∧2 求微分方程的通解

解：∵xy"=y'-xy'^2
==>xdy'/dx=y'-xy'^2
==>y'dx-xdy'-xy'^2dx=0
==>(y'dx-xdy')/y^2-xdx=0
==>∫(y'dx-xdy')/y^2-∫xdx=0 (积分)
==>x/y'-x^2/2=C1/2 (C1是常数)
==>y'=2x/(x^2+C1)
∴y=∫2xdx/(x^2+C1)=∫d(x^2+C1)/(x^2+C1)=ln│x^2+C1│+C2 (C2是常数)
故此方程的通解是y=ln│x^2+C1│+C2。

这么齐…显然想到令y/x=u,
y'=u+(du/dx)*x
y'-u-sqrt(u^2-1)=0
带入即有:
==>u+(du/dx)*x=u+sqrt(u^2-1)
分离变量:
==>du/[sqrt(u^2-1)]=dx/x
然后两边求原函数就是了,都是常见的形式了。
ln |[u+sqrt(u^2-1)]|=ln |x|
带回u就是了。