求(根号下y)xf(x^2+y^2)的二重积分,其积分区域为y=x^2与y=1围成的

2025-01-12 22:26:21
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回答1:

这种题型要利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性来解决。
1、被积函数可以看成根号下(x^2+y^2)和y两个函数,前者利用极坐标解决,后者由于y是奇函数,而积分区域为x^2+y^2=4和(x+1)^2+y^2=1所围成关于x轴对称,故二重积分y=0.
对于前者的积分可以分开在两个区域(x^2+y^2=4和(x+1)^2+y^2=1)里积分,然后做差即可。

回答2:

用极坐标算 x=ρcosα
y=ρsinα
积分区域D是上半圆,ρ∈[0,1],α∈[0,π]
∫∫√(x^2+y^2)dxdy
=∫dα∫ρ^2dρ(dα前的上限是π,下限是0;dρ的上限是1,下限是0)
=∫1/3dα=π/3