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三棱锥内切球半径怎么求

2024-11-12 12:02:10

推荐回答（5个）

回答1：

如图左，

内切圆圆心为异面两棱中点连线MN的中点O，

半径为点O到平面BCD的距离OG的长度，

转化到右图平面图形的计算：

设棱长AB为a，

则NB=a/2，

由勾股定理得AM=BM=根号3*a/2MN=根号2/2，

OM=根号2/4，

由△MOG∽MBN得OG/BN=MO/MB

∴OG=根号6/12a

内切球球心在几何体各面上的射影与各面的重心重合，即

半径的求法：

一般在三棱锥中常用等体积法求半径，即大三棱锥体积等于以球心为顶点，分割成三棱锥相加，即可求出半径(高)

正三棱锥的定义. 1.底面是正三角形 2.顶点在底面的射影是底面三角形的中心. 满足以上两条的三棱锥是正三棱锥. 由以上定义可知，正三棱锥底面为正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形. 要防止和另外一个概念----正四面体混淆. 正四面体的要求比正三棱锥更要.每个面都是正三角形的四面体才是正四面体.我们可以说，正四面体是特殊的正三棱锥，正三棱锥具备的性质正四面体都有，而正四面体具备的性质正三棱锥不一定有.

回答2：

如图，点M是底边中线BE、CD的交点，

则圆心O在底面重心M和顶点P的连线上，作OH⊥AD于H，则OH=OM=球半径R，

为计算表达相对简便，设底边=6，侧棱=5，

则BD=3，CD=3根号3，PD=4，DM=根号3，PM=根号13，

由△PHO∽△PMD得

PO/PD=OH/DM，即(根号13-R)/4=R/根号3，解得R即可

回答3：

首先、利用向量法的时候，一般情况下会有一个底面非常容易建立空间直角坐标系，甚至有一条棱是垂直底面的，这种情况一般前边会有一小问提示你用向量法。其次，利用等体积法时，因为由内切球的定义可以知道，内切球的球心到三棱锥四个面的距离是相同的，将四个顶点和球心相连，三棱锥就会分成四个等高的四面体（高都是内切球半径）。这样的话，如果你能知道三棱锥的总体积V（利用一个容易求得的底面积S和对应的高h），以及三棱锥的四个底面面积（S1、S2、S3、S4）。并且设内切球半径为r。那么三棱锥的体积就可以有两种计算方式。V = 1/3*S*h以及V =1/3*( S1*r+S2*r+S3*r+S4*r)。然后就会得到 r = V/(S1+S2+S3+S4).(其中/表示除号；*表示乘号)。

回答4：

要求解三棱锥内切球的半径，可以采用以下方法：

1. 考虑三棱锥的底面三角形，将其视为一个平面问题。在底面三角形中，连接三个顶点和内切球心，形成三个边长为r的小三角形。这些小三角形是等边三角形，因为内切球心到三角形的边的距离都是内切球的半径。

2. 找到底面三角形的边长和高。如果底面三角形的边长为a，高为h，可以使用三角形的面积公式S = (1/2) * a * h来计算底面三角形的面积。

3. 底面三角形的面积可以用内切圆的半径r来表示，即S = (1/2) * a * h = (1/2) * 3r * h。因为底面三角形是等边三角形，所以可以将其中一个角的正弦值sin(60°)表示为h / a，即h = a * sin(60°) = a * √3 / 2。

4. 将h代入底面三角形的面积公式中，可以得到S = (1/2) * 3r * (a * √3 / 2) = (3√3 / 4) * a * r。

5. 根据三棱锥的体积公式V = (1/3) * S * H，其中H为三棱锥的高，可以得到V = (1/3) * (3√3 / 4) * a * r * H。

6. 由于内切球与三棱锥的底面相切，所以内切球的半径r与三棱锥的高H之间存在关系：r = (1/3) * H。

7. 将r代入到V的公式中，可以得到V = (1/3) * (3√3 / 4) * a * ((1/3) * H) * H = (√3 / 36) * a * H^2。

8. 根据三棱锥的体积公式V = (1/3) * (√3 / 4) * a^2 * H，可以得到 (√3 / 36) * a * H^2 = (1/3) * (√3 / 4) * a^2 * H。

9. 将a约掉，可以得到 H = (1/4) * r。

因此，三棱锥内切球的半径r等于三棱锥的高的四分之一。