求xy"+y✀=0的通解

2025-01-21 03:05:11
推荐回答(4个)
回答1:

(2x+cx²)y²=1。c是常数。

解:令z=1/y²,则y'=-y³z'/2

代入原方程,化简得

xz'-2z+2x=0.........(1)

再令x=e^t,则xz'=dz/dt

代入方程(1),化简得

dz/dt-2z=-2e^t..........(2)

∵方程(2)是一阶线性微分方程

于是,由一阶线性微分方程的通解公式,可得方程(2)的通解是

z=2e^t+ce^(2t)

(c是任意常数)

∴方程(1)的通解是

z=2x+cx²

故原方程的通解是(2x+cx²)y²=1。

求法

求微分方程通解的方法有很多种,如:特征线法,分离变量法及特殊函数法等等。

而对于非齐次方程而言,任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解,就可以得到非齐次方程的通解。

回答2:

简单计算一下即可,答案如图所示

回答3:

解:


设p = y'也可以

回答4:

Xy''+y'=0
dy/dx=p
y''=dp/dx
xdp/dx+p=0
dp/p=-dx/x
dlnp=dln(1/x)
lnp=ln(1/x)+C
p=C/x
dy/dx=C/x
dy=Cdx/x
y=Clnx+C1