设函数f（x）=（1+x） 2 +ln（1+x） 2 ．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[ 1 e -1，e-

2025-01-19 14:17:43

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回答1：

（1）函数定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞），
因为 f′(x)=2[(x+1)-

x+1

] =

2x(x+2)

x+1

，
由f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0，由f′（x）＜0得x＜-2或-1＜x＜0．
∴函数的递增区间是（-2，-1），（0，+∞），递减区间是（-∞，-2），（-1，0）．
（2）由f′（x）=

2x(x+2)

x+1

=0得x=0或x=-2．由（1）知，f（x）在[

-1，0]上递减，在[0，e-1]上递增．
又f（

-1）=

e 2

+2，f（e-1）=e² -2，
∴ e 2 -2-

e 2

-2 =

( e 2 -2 ) 2 -5

e 2

＞0
∴e² -2＞

e 2

+2．所以x∈[

-1，e-1]时，[f（x）]_max =e² -2．故m＞e² -2时，不等式f（x）＜m恒成立．
（3）方程f（x）=x² +x+a，即x-a+1-ln（1+x）² =0，记g（x）=x-a+1-ln（1+x）² ．
所以g′（x）=1-

1+x

x-1

x+1

．
由g′（x）＞0，得x＜-1或x＞1，由g′（x）＜0，得-1＜x＜1．
所以g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，
为使f（x）=x² +x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实根，于是有

g(0)≥0

g(1)＜0

g(2)≥0

，∴

-a+1≥0

1-a+1-2ln2＜0

2-a+1-2ln3≥0

，
∴2-2ln2＜a≤3-2ln3．