已知sinα+cosα=3√5⼀5,α∈(0,π⼀4),sin(β-π⼀4)=3⼀5,β∈(π⼀

因为： sin2α ＝ 2sinαcosα
根据已知条件。两边平方
(sinα + cosα)²＝sin²α + cos²α + 2sinαcosα ＝1 + sin2α = (3√5/5)² ＝ 9/5
所以 sin2α＝9/5 - 1 ＝ 4/5

估计你的题目抄错了：
已知sin2α+cosα=3√5/5，α∈(0,π/4)，sin(β-π/4)=3/5，β∈(π/4,π/2)
求 cos(α+2β)
解： 因为 β∈(π/4，π/2)
所以 0<β-π/4<π/4, 2β∈(π/2，π)

又因为 sin(β - π/4)=3/5 ， 所以 cos(β - π/4) = 4/5
tan(β-π/4) = 3/4
sin2(β-π/4)=sin(2β-π/2)=-cos2β
同时：
sin2(β-π/4)=2tan(β-π/4)/(1+tan²(β-π/4))=2*3/4/(1+(3/4)²)=24/25
所以 cos2β=-24/25
所以 sin2β=7/25
cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=2/√5*(-24/25)-1/√5*(7/25)=-11√5/25