Z=ln√x^2+y^2求二阶偏导数

具体回答如下：

根据题意：z=ln√x^2+y^2

∂z/∂x=2x/(x²+y²)

∂²z/∂x²=2(y²-x²)/(x²+y²)²

∂z/∂y=2y/(x²+y²)

∂²z/∂y²=2(x²-y²)/(x²+y²)²

∂²z/∂x∂y=-4xy/(x²+y²)²

二阶偏导数的意义：

二阶导数是一阶导数的导数，从原理上看，它表示一阶导数的变化率；从图形上看，它反映的是函数图像的凹凸性。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

解：已知Z=ln√(x^2+y^2)=ln(x^2+y^2)^(1/2)=1/2*ln(x^2+y^2)，

那么Z对x、y的一阶导数如下，

φZ/φx=1/2*(1/(x^2+y^2))*2x=x/(x^2+y^2)，

φZ/φy=1/2*(1/(x^2+y^2))*2y=y/(x^2+y^2)。

那么Z对x、y的二阶导数如下，

φ²Z/φx²=(x^2+y^2-x*2x)/(x^2+y^2)^2=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2，

同理可得，φ²Z/φy²=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2，

φ²Z/φxφy=-2xy/(x^2+y^2)^2。

扩展资料：

1、导数的四则运算规则

（1）（f(x)±g(x)）'=f'(x)±g'(x)

例：（x^3-cosx）'=(x^3)'-(cosx)'=3*x^2+sinx

（2）（f(x)*g(x)）'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)

例：（x*cosx）'=(x)'*cosx+x*(cosx)'=cosx-x*sinx

2、复合函数的导数求法

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。

即对于y=f(t)，t=g(x)，则y'公式表示为：y'=（f(t)）'*（g(x)）'

例：y=sin（cosx），则y'=cos(cosx)*(-sinx)=-sinx*cos(cosx)

3、常用的导数公式

（lnx）'=1/x、（e^x）'=e^x、（C）'=0（C为常数）

参考资料来源：百度百科-导数

z=ln(x²+y²)

∂z/∂x=2x/(x²+y²)
∂²z/∂x²=2(y²-x²)/(x²+y²)²
∂z/∂y=2y/(x²+y²)
∂²z/∂y²=2(x²-y²)/(x²+y²)²
∂²z/∂x∂y=-4xy/(x²+y²)²
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