根据数列极限的定义证明：lim(3n+1)⼀(2n+1)＝3⼀2

任取e》0，存在N＝1/4e，当n》n时：

|(3n+1)/(2n+1)-3/2|

＝1/（4n＋2）

<1/4N

=e

所以lim(3n+1)/(2n+1)＝3/2。

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化；

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

|(3n+1)/(2n+1)-3/2|=|1/2(2n+1)|<1/n
所以对于任意的ε>0，存在N=1/ε使得当n>N的时候
|(3n+1)/(2n+1)-3/2|<ε
得证

任取e》0，存在N＝1/4e，当n》n时
|(3n+1)/(2n+1)-3/2|
＝1/（4n＋2）
<1/4N
=e
所以lim(3n+1)/(2n+1)＝3/2

证明如下：

扩展资料：

用定义证明数列｛2^n/n!｝的极限是0。

套用极限的定义，任意给一个ε>0，要使得对于一个正整数N，当n大于N时，满足|2^n/n!-0|<ε，于是现在的问题就是找到这个与ε有关的N就行。

查看上面这个不等式，去掉绝对值，得到了：2^n/n!=(2/1)*(2/2)*(2/3)*(2/4)*...*(2/n)<ε

因为只要找到一个这样的N就行了，并不需要精确地找到这个N的最小值，所以我们完全可以将上面的不等式的左侧粗略地放缩一下，并令放缩的结果恒小于ε：

2^n/n!=(2/1)*(2/2)*(2/3)*(2/4)*...*(2/n)<2*(2/n)<ε

解上面的不等式，得n>4/ε

所以这时，我们就找到了一个潜在的N＝4/ε。但是由于ε是随便取的，不能保证4/ε是一个整数，于是我们只需要给这个式子加一个高斯取整即可，并且为了保证取整之后的N大于等于4/ε，我们再为它加上一个1，亦即：N=[4/ε]+1

所以总上，把整个证明连起来就是：∀ε>0，∃(N=[4/ε]+1)∈N*，当n>N时，|2^n/n!-0|<ε，于是按照极限定义，就证明了这个数列极限是0。