矩阵等价相似合同的关系

首先相似不一定合同合同也不一定相似，但是如果相似或者合同则必然等价，而等价却不能反推出相似或者合同，原因是前者只能是对方阵，而后者则只需要同型。相似合同和等价都具有反身性。对称性和传递性，合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。
而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时，存在C(T)AC=C(-1)AC，即这个时候矩阵合同和相似可以等价，这个时候C是正交矩阵，然而当C不是正交矩阵时，则只能满足其中一个条件，或者说如果P(-1)AP=B,即A与B相似，但如果P不是正交矩阵，则不能称A与B合同，如果P(T)AP=B，即A与B合同，但是PP(T)≠I,则一样不能推出相似。

等价指的是两个矩阵的秩一样
合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样
相似是指两个矩阵特征值一样。

相似必合同，合同必等价。

1.等价矩阵
同型矩阵A，B的秩相等，那么A，B等价，即是随意两个秩相等的同型矩阵通过
初等变换都可以相互转化相等与另一个
2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P，使得P（-1）AP=B，则称B是A的相似矩阵。
原因：A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同，即|B-aE|=|A-aE|
所以|B-aE|=|P（-1）||A-aE||P|
所以|B-aE|=|P（-1）AP-aP（-1）EP|
即|B-aE|=|P（-1）AP-aE|
所以B=P（-1）AP
3.合同矩阵定义：若存在可逆矩阵C,使得C（T）AC=B，即A与B合同。
对于合同矩阵要从二次型说起，二次型为：f=x（T）Ax
可通过x=Cy变换，即把x=Cy带入
于是f=（Cy)(T)A(Cy)=y(T)[C（T）AC]y
其中令C（T）AC=B，即A与B合同

不一样。"等价关系"指的是满足自反、对称、传递三种性质的关系，适用于所有的学科、所有的数学分支。
矩阵的等价指的是可以通过初等变换互换。
至于为什么这样称呼，已经不知道原因了。可以给你一种便于理解的解释:
等价关系是一种比线性代数深奥的学科(抽象代数)研究的内容，更一般、更抽象。
首次研究初等变换的数学家在不懂得抽象代数的情况下命名了矩阵的等价关系。后来一些人研究合同、相似，发现连同原来的矩阵等价关系一样都满足抽象代数里的等价性质，于是又把一般的等价关系写到线性代数教材里，这才弄得这么乱。

注意，！！想起不一定合同，要有前提必须是实对称矩阵