一元二次方程应用题

1.小朋养了一群鸽子，小刚问他养了几只，小朋说：“如果你给我一只鸽子，那鸽子总数的平方恰是鸽子总数的9倍。”你知道小明现有多少只鸽子吗？

2.一个两位数等于它个位上的数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，求这个两位数。

3.一辆红旗桥车新的时候的价值是25W万，若使用第一年后折旧20%，以后每年按另一折旧率进行折旧，这三年末这辆桥车的价值是16.2万元，问：这辆车在第二 .三年中，平均每年的折旧率是多少？

4.将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每张价1元，其销售量就减少10个，为了赚8000元利润，售价定为多少，这时应进货多少个

5.有长35、宽26（m）的矩形，在边缘取两条互相垂直且宽一样的矩形长条，要使剩余850平方米，那求矩形长条宽度。

6.某水果批发市场经销一种高档水果。如果每千克盈利10元，每天可出售500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量奖减少20千克，现该市场保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

7.某果园今年栽种果树200棵，现计划扩大栽种面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的栽种量为1400棵，求这个百分数。

8.一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600m2，那么水渠应挖多宽？

9.有一块长方形的铅皮，长40厘米，宽30厘米.现在把它的四角各剪去一个小方块，然后把四边折起来做成一只没有盖的盒子，使这个盒子的底面积是原来铅皮面积的一半，求这盒子的高.

10.有长35、宽26（m）的矩形，在边缘取两条互相垂直且宽一样的矩形长条，要使剩余850平方米，那求矩形长条宽度。

11.在一幅长90厘米,宽40厘米的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂图,如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%,那么金色纸边的宽应该是多少?

12.某商店以2400元购进某种茶叶，第一个月每盒按进价增加20%为售价，售出50盒，第二个月以低于进价5元为售价，售完剩下的茶叶，在整个买卖中盈利350元，求每盒茶叶售价

13.一个容器盛满纯药液63L,第一次倒出一部分药液后，用水加满，第二次又倒出同样多的药液，在用水加满，这时，容器内剩下的药液是28L，每次道出得药液是多少L？

14.某果园原有100棵桃树，一棵桃树一年平均结1000个桃子，每多种1棵桃树，产量会减少2个，果园最多只能种桃树150棵，而要使产量增加15.2%，应种多少棵桃树？

15.某车间加工360个零件,在加工2天后,改进了工作方法,每天多加20个,结果提前4天完成了任务,求改进方法后每天加工多少个零件?

答案

1.解:设小朋有X只鸽子.则
(X+1)^2=9(X+1)
解得X=8或X=-1(舍去)
所以小朋养了8只鸽子.

2.解:设着两位数字的个位数字是X.则
X^2=10(X-3)+X
解得X=6或X=5
所以这两个两位数字是36或者25.

3.解:有题意得第2年时的价钱是25*(1-0.2)=20W.
设第2.3年的折旧率为X
则20*(1-X)^2=16.2
解得X=10
所以折旧率为10%.

4.解:设这是售价定为X元(X为大于50的数).则有题意得
[500-(X-40)*10]*X=8000
解得X=10或X=-80(舍去)
所以定价为60元,此时进货500-(60-50)*10=400个

5.设宽度为x (35-x）×（26－x）＝850
得910－61x＋x^2＝850
即x^2-61x＋60＝0
所以x＝1或60（60舍去）
所以宽度为1m

6.设每千克涨价X元。
[10+X][500-20X]=6000
X^2-15X+50=0
[X-5][X-10]=0
X1=5
X2=10
题中说明要使顾客得到实惠，那么涨价的幅度应是5元。
所以，每千克应涨价5元。

7.设这个百分数为x
200*（1+x）^2=1400
解得x=1.6458=164.58%

8.设水渠应挖xm宽，依题意得：
(162-2x)(64-4x)=9600
化简得 x2-97x+96=0
x1=1 x2=96（舍去）
答：水渠应挖1m宽．

9.设盒子的高是x厘米，因为小方块每边长x厘米，所以盒子的长和宽分别是(40-2x)厘米和(30-2x)厘米.
根据题意，列得方程：(40-2x)(30-2x)=40*30/2
x1=30和x=5虽然都是正数，但是只有x=5是适合题目条件的，因为如果盒子的高是30厘米，那么铅皮的两边各要剪去60厘米，而原来铅皮的长和宽分别只有40厘米和30厘米，显然这是不合题意的.
答：盒子的高是5厘米.

10.设宽度为x
(35-x）×（26－x）＝850
得 910－61x＋x^2＝850
即 x^2-61x＋60＝0
所以x＝1或60（60舍去）
所以宽度为1m

11.设金色纸边的宽是xcm,可列方程
(90+2x)(40+2x)=40*90/72%
3600+80x+180x+4x2=5000
4x2+260x-1400=0
解得x1=5
x2=-70（不符合题意，舍去）
所以，答：金色纸边的宽是5cm。

12.设每盒茶叶进价x元。由题意得：
（1+20%）*x*50+(x－5)(2400/x－50)－2400=350
60x+2400-50x-12000/x+250-2400=350
10x-12000/x=100
10x^2-100x-12000=0
x^2-10x=1200
x^2－10x+25=1200+25
x=5±35
x1=40 ，x2= －30(舍去)
每盒茶叶进价40元。

13.设每次倒出的药液为 x,那么
第一次倒出后所剩的纯药液：63-x
用水加满后纯药液所占用的比例：(63-x)/63
第二次倒出后所剩的纯药液：(63-x)(63-x)/63
用水加满后纯药液所占用的比例：[(63-x)(63-x)/63]/63
最后容器内剩下的药液：{[(63-x)(63-x)/63]/63}63=28
解得：x=21（x=105舍去）

14.设增加x棵桃树,x≤50
总产量y;
y=(100+x)(1000-2x)...①
y=100*1000(1+15.2%)...②
①式得: y=-2x^2+800x+100000
将②代入①得: -2x^2+800x+100000=115200
化简得: x^2-400x+7600=0
由公式法得: x=(400±360)/2
解得: x1=380(舍去) x2=20
∴该果园应种120棵桃树.

15.设原来每天加工x个，则改进方法后每天加工x+20个
由题意，列出方程
2+（360—2x）/（x+20)=360/x—4
6x（x+20)+x(360-2x)=360(x+20)
( x+15)的平方=2025
x+15=45或x+15=-45
X1=30，X2=-60
因为x>0所以，取x=30
x+20=30+20=50
答：改进方法后，每天加工50个

够了吧

例1．两个连续奇数的积是899，求这两个数．

分析：本题考查用一元二次方程求解的数字问题，正确理解连续奇数的意义是解题关键．

解：设较小的一个奇数为x，则另一个为x+2．

根据题意得：

x(x+2)=899

x2+2x-899=0

(x-29)(x+31)=0

x1=29 x2=-31

由x=29得 x+2=31

由x=-31得x+2=-29

答：这两个奇数是29、31或者-31、-29．

注意：因为在负数范围内也存在奇数，所以本题解出的值不能随意舍去．

例2．一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数．

解：设原来两位数的十位数字为x，则个位数字为5-x．

根据题意得

[10x+(5-x)]·[10(5-x)+x]=736

x2-5x+6=0

(x-2)(x-3)=0

x1=2 x2=3

当x=2时，5-x=3，符合题意，原两位数是23

当x=3时，5-x=2，符合题意，原两位数是32

答：原来的两位数是23或32．

例3．三个连续整数，最大数的立方与最小数的立方之差比中间数的40倍大16，求这三个数．

解：设这三个数是x-1，x，x+1

根据题意，列方程

(x+1)3-(x-1)3=40x+16

[(x+1)-(x-1)][(x+1)2+(x+1)(x-1)+(x-1)2]=40x+16

2(3x2+1)=40x+16

3x2-20x-7=0

(x-7)(3x+1)=0

当x=7时，x-1=6 x+1=8

答：这三个数是6、7、8．

例4．有两个自然数，其差是94，某学生作此两数之积时，将其积的十位上少算了4，他又用这两个数中较大者除所得的错误积数得商52余107，求此二数．

分析：根据商及余数的意义，可以知道，被除数=除数×商+余数．

解：设两数中较大者是x，则较小者为x-94

根据题意，列方程：

x(x-94)-40=52x+107

x2-146x-147=0

(x-147)(x+1)=0

∴x1=147 x2=-1（不合题意，舍去）

当x=147时，x-94=53

答：此两数是147和53．

注意：十位数上少算4，实际上错误积比真实际少算40．

例5．一个两位数，其值等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求此两位数．

解：设十位数字是x，则个位数字是x+2

10x+x+2=3x(x+2)

11x+2=3x2+6x

3x2-5x-2=0

(x-2)(3x+1)=0

当x=2时，x+2=4

答：这个两位数是24．

例6．把100厘米长的铅丝折成一个长方形模型.（1）要使这个长方形的面积是525平方厘米，它的长和宽应该各是多少厘米？（2）面积是625平方厘米呢？（3）面积是700平方厘米呢？

解：（1）当长方形的面积是525平方厘米时，根据题意，列得方程：

x(50-x)=525,

x2-50x+525=0,

(x-15)(x-35)=0,

∴x1=15, x2=35

（2）当长方形的面积是625平方厘米时，根据题意，列得方程：

x(50-x)=625,

x2-50x+625=0,

(x-25)2=0,

∴x1=x2=25.

（3）当长方形的面积是700平方厘米时，根据题意，列出方程：

x(50-x)=700,

x2-50x+700=0,

∴这个方程没有实数解.

答：（1）这个长方形模型的长是35厘米，宽是15厘米；

（2）这个长方形模型的长和宽都是25厘米，这时做成一个正方形.

（3）要用100厘米长的铅丝做成一个面积是700平方厘米的长方形，是不可能的.

注：在问题（1）中，按照方程的解，可以得出长方形的长是35厘米，宽是15厘米，或者长是15厘米，宽是35厘米，但是这表明是同一大小的长方形，因此只要回答一种结果，不必重复.

例7．一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600m2，那么水渠应挖多宽？

分析：本题考查应用方程知识解决实际问题．这类问题的特点是，挖渠所占用土地面积只与挖渠的条数、渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为了研究问题方便可分别把沿东西和南北方向挖的渠道移动到一起．（最好靠一边）如下图所示，那么剩余可耕的长方形土地的长为(162-2x)m，宽为(64-4x)m．

解：设水渠应挖xm宽，依题意得：

(162-2x)(64-4x)=9600

化简得 x2-97x+96=0

x1=1 x2=96（舍去）

答：水渠应挖1m宽．

例8．有一块长方形的铅皮，长40厘米，宽30厘米.现在把它的四角各剪去一个小方块，然后把四边折起来做成一只没有盖的盒子，使这个盒子的底面积是原来铅皮面积的一半，求这盒子的高.

解：设盒子的高是x厘米，因为小方块每边长x厘米，所以盒子的长和宽分别是(40-2x)厘米和(30-2x)厘米.

根据题意，列得方程：(40-2x)(30-2x)=40*30/2

x1=30和x=5虽然都是正数，但是只有x=5是适合题目条件的，因为如果盒子的高是30厘米，那么铅皮的两边各要剪去60厘米，而原来铅皮的长和宽分别只有40厘米和30厘米，显然这是不合题意的.

答：盒子的高是5厘米.

例9．有一面积为150平方米的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成.如果竹篱笆的长为35米.求鸡场的长与宽各为多少米.

解：设垂直于墙面的边为x米，则另一边为（35-2x）米.

根据题意，列出方程：x（35-2x）=150

解得x=10米

答：鸡场长为15米，宽为10米.

例10．将一块铁皮剪成中部为一个正方形，两边突出部分是两个小正方形（相同）.如果其全面积是72cm2，全周长是40cm，求大小正方形边长是多少厘米？

乎~一点点找的……

例1 在长方形钢片上冲去一个小长方形，制成一个四周宽相等的长方形框（如图11—1）.已知长方形钢片的长为30cm,宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm ,求这个长方形框的框边宽.

分析：

(1)复习有关面积公式：矩形；正方形；梯形；

三角形；圆.

(2)全面积= 原面积 – 截去的面积 30

(3)设矩形框的框边宽为xcm,那么被冲去的矩形的长为(30—2x)cm,宽为(20-2x)cm,根据题意,得 .

注意:方程的解要符合应用题的实际意义,不符合的应舍去.

例2 某城市按该市的“九五”国民经济发展规划要求，1997年的社会总产值要比1995年增长21%，求平均每年增长的百分率.

分析:(1)什么是增长率?增长率是增长数与原来的基数的百分比，可用下列公式表示：

增长率=
何谓平均每年增长率？平均每年增长率是在假定每年增长的百分数相同的前提下所求出的每年增长的百分数.(并不是每年增长率的平均数)

有关增长率的基本等量关系有:

①增长后的量=原来的量 (1+增长率),

减少后的量=原来的量 (1--减少率),

②连续n次以相同的增长率增长后的量=原来的量 (1+增长率) ;

连续n次以相同的减少率减少后的量=原来的量 (1+减少率) .

(2)本例中如果设平均每年增长的百分率为x,1995年的社会总产值为1，那么

1996年的社会总产值= ；

1997年的社会总产值= = .

根据已知,1997年的社会总产值= ,于是就可以列出方程:

3.一个容器盛满纯药液20升，第一次倒出若干升后，用水加满。第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液5升，每次倒出的液体是多少升？

设每次倒出的液体是x升
（20-x）*（20-x）/20=5
解得x=10

4.某商店将进价为8元的商品每件按10元出售，每天可买出200件，现在采取提高商品售价的办法来增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元

设共提供X个0.5元```

所以每件商品利润为:10+0.5X-8

销售件数为:200-10X

所以

(10+0.5X-8)(200-10X)=640

解出了X后````

再用0.5去乘X再加10就是现在的售价

5.有长35、宽26（m）的矩形，在边缘取两条互相垂直且宽一样的矩形长条，要使剩余850平方米，那求矩形长条宽度。

设宽度为x
(35-x）×（26－x）＝850
得 910－61x＋x^2＝850
即 x^2-61x＋60＝0
所以x＝1或60（60舍去）
所以宽度为1m

6.队伍有8行12列，后又增69人，要使队伍增加行列数一样，那应该增加多少行或列？

设增加行列数为x
（8＋x）×（12＋x）＝12×8＋69
得 96＋20x＋x^2＝96＋69
即 x^2＋20x－69＝0
所以x＝3或-23（-23舍去）
所以行列数为3

7.参加一次聚会的每两人都握了一次手， 所有人共握手10次，有多少人参加聚会？

设有X人参加聚会，则
X×（X-1)÷2=10
X=5

算这种题，根据一个公式，N×(N-1)÷2

8.已知方程x^+2(m-2)+m^+4=0,有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求m的值

如果方程为ax^2+bx+c=0
设方程的两个根为x和y
则有x+y=-b/a,x*y=c/a

首先本题中有两个实数根，那么Δ>0,由此得到m的范围

再有x^2+y^2=(x+y)^2-2xy

再利用已知，（x^2+y^2）-2xy=21
所以(x+y)^2-4xy=21
再把x+y=-b/a,x*y=c/a代入
解出m值，根据上面确定的m范围进行取舍得出最终结果。

9.某水果批发市场经销一种高档水果。如果每千克盈利10元，每天可出售500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量奖减少20千克，现该市场保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

设每千克涨价X元。
[10+X][500-20X]=6000
X^2-15X+50=0
[X-5][X-10]=0
X1=5
X2=10
题中说明要使顾客得到实惠，那么涨价的幅度应是5元。
所以，每千克应涨价5元。

10.某果园今年栽种果树200棵，现计划扩大栽种面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的栽种量为1400棵，求这个百分数。

设这个百分数为x
200*（1+x）^2=1400
解得x=1.6458=164.58%

谢谢~

一元二次方程：
1
一块长方形铁皮长32CM，宽24CM，四个角都截去相同的小正方形，折起来做成
一个无盖的铁盒，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高。
设高是X
(32-2x)(24-2x)=32*24*1/2
768-64x-48x+4x^2=384
x^2-28x+96=0
(x-4)(x-24)=0
x1=4
x2=24(舍）
即高是4厘米
2
小明养了一群鸽子，小亮问小明养了几只鸽子，小明说：“如果你给我一只
鸽子，那么鸽子总数的平方恰是鸽子总数的9倍。”你知道小明现有几只鸽子吗？
设小明有X只
(x+1)^2=9(x+1)
x^2+2x+1-9x-9=0
x^2-7x-8=0
(x-8)(x+1)=0
x=8
x=-1(舍）
即小明原有8只

设与墙平行的边为x
米，则另2条边为（32+1-x）÷2米，有x（33-x)÷2=130,解得x=13或x=20,
有题意知x=20不合题意，故x=13，另2条边=10米，故长为13米，宽为10米