cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ的推导过程

2025-01-18 13:57:27

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回答1：

两角和的余弦公式：
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
(思路:在直角坐标系的单位圆中，根据两点间的距离公式来推导)

作∠AOD=α，∠BOD=-β，∠AOC=β，∠DOC=β+α。
则B（cosβ，-sinβ）；D（1，0）；A（cosα，sinα）；
C[cos（α+β），sin（α+β）]。

∵ OA=OB=OC=OD=1

∴ CD=AB。

∵ CD2=[cos（α+β）-1] 2+[ sin（α+β）-0] 2；

=cos2（α+β）- 2cos（α+β）+1 + sin2（α+β）；

=2-2 cos（α+β）。

AB2=（cosα-cosβ）2+ （sinα+sinβ）2；

=cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+ sin2β；

=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。

∴ 2-2 cos（α+β）=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。

∴ cos（α+β）=cosαcosβ- sinαsinβ