用一个圆规和一把没有刻度的直尺，怎样画一个正十七边形？

2024-11-01 10:09:08

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回答1：

步骤一：
　　给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，
　　作C点使OC＝0.25OB，
　　作D点使∠OCD＝0.25∠OCA，
　　作AO延长线上E点使得∠DCE＝45°。
步骤二：
　　作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，
　　再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。
　　步骤三：
　　过G4作OA垂直线交圆O于P4，
　　过G6作OA垂直线交圆O于P6，
　　则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点，P4为第四顶点，P6为第六顶点。
　　连接P4P6，以1/2弧P4P6为半径，在圆上不断截取，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。

回答2：

若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的，
其中c是方程x^2+ax+b=0的实根。
上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候，做出长为sqrt(a^2-4b)的线段。
（这一步，大家会画吧？）
而要在一个单位圆中做出正十七边形，主要就是做出长度是cos(2pai/17)的线段。
下面我把当年高斯证明可以做出cos(2pai/17)的证明给出，同时也就给出了具体的做法。
设a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16pai/17)]>0
a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0
则有a+a1=-1,a*a1=-4,即a,a1是方程x^2+x-4=0的根，所以长为|a|和|a1|的线段可以做出。
令b=2[cos(2pai/17)+cos(8pai/17)]>0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]<0
c=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)]>0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0
则有b+b1=a b*b1=-1 c+c1=a1 c*c1=-1
同样道理，长度是|b|,|b1|,|c|,|c1|的线段都可以做出来的。
再有2cos(2pai/17)+2cos(8pai/17)＝b [2cos(2pai/17)]*[2cos(8pai/17)]=c
这样，2cos(2pai/17）是方程x^2-bx+c=0较大的实根,
显然也可以做出来，并且作图的方法上面已经给出来了

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